Em coordenadas esféricas, uma densidade de corrente
existe em um meio condutor, onde
é uma constante. Determine a corrente total, na direção
, que atravessa um disco circular de raio
, centrado no eixo
e localizado em (a)
; (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de eletromagnetismo envolvendo densidade de corrente em coordenadas esféricas. A densidade de corrente é dada por
em
, onde
é uma constante. Nosso objetivo é determinar a corrente total na direção
que atravessa um disco circular de raio
, centrado no eixo
, em dois casos: (a) quando o disco está no plano
e (b) quando está em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integração da densidade de corrente sobre a superfície do disco.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a corrente total através de uma superfície. A corrente
através de uma superfície
é dada pela integral de superfície da densidade de corrente
projetada na direção normal à superfície:
Aqui,
é o elemento de área vetorial da superfície
.
Passo 3
Vamos considerar o primeiro caso: o disco está no plano
. Esse disco está no plano
, e a direção normal é na direção $ \mathbf{a}_{z} $. Então,
, onde
é o elemento de área.
Passo 4
A densidade de corrente está em coordenadas esféricas. Vamos converter
para coordenadas cartesianas para facilitar a integração sobre o disco no plano
. Lembrando que em coordenadas esféricas:
Mas no plano
,
, então
e
. Assim,
.
Passo 5
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
No plano
,
é radial no plano
, e a direção normal é
. Então, o produto escalar
é zero, porque são perpendiculares.
Passo 7
Isso significa que a corrente total na direção $ \mathbf{a}_{z} $ que atravessa o disco no plano
é zero.
Passo 8
Agora, vamos para o segundo caso: o disco está em
. Nesse caso, a direção normal ainda é $ \mathbf{a}_{z} $, mas agora estamos em um plano paralelo ao
, deslocado para cima.
Passo 9
Vamos parametrizar o disco em coordenadas cartesianas. Em
, as coordenadas esféricas são relacionadas por:
Então,
e
.
Passo 10
A densidade de corrente é:
Passo 11
A direção
em coordenadas cartesianas é:
Em
:
Passo 12
A corrente total na direção $ \mathbf{a}_{z} $ é dada por:
Passo 13
Calculando o produto escalar:
Passo 14
A área do disco em coordenadas cartesianas é
. Porém, para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares no plano
:
Passo 15
Expressando
em termos de
:
Passo 16
Substituindo na expressão de
:
Passo 17
Agora, a integral para
fica:
Passo 18
Integrando sobre o disco de raio
:
Resposta
A corrente total na direção
que atravessa o disco é: