Em coordenadas esféricas, uma densidade de corrente J=-k /(r sen theta) atheta A / m^2 existe em um meio condutor, onde k é uma constante. Determine a corrente total, na direção az, que atravessa um disco circular de raio R, centrado no eixo z e localizado em (a) z=0; (b) z=h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de eletromagnetismo envolvendo densidade de corrente em coordenadas esféricas. A densidade de corrente é dada por J = -kr sin theta atheta em A/m^2, onde k é uma constante. Nosso objetivo é determinar a corrente total na direção az que atravessa um disco circular de raio R, centrado no eixo z, em dois casos: (a) quando o disco está no plano z=0 e (b) quando está em z=h. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integração da densidade de corrente sobre a superfície do disco.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a corrente total através de uma superfície. A corrente I através de uma superfície S é dada pela integral de superfície da densidade de corrente J projetada na direção normal à superfície:
I = integral duplaS J cdot dS
Aqui, dS é o elemento de área vetorial da superfície S.

Passo 3

Vamos considerar o primeiro caso: o disco está no plano z=0. Esse disco está no plano xy, e a direção normal é na direção $ \mathbf{a}_{z} $. Então, az , onde dS = az , dS é o elemento de área.

Passo 4

A densidade de corrente está em coordenadas esféricas. Vamos converter J para coordenadas cartesianas para facilitar a integração sobre o disco no plano z=0. Lembrando que em coordenadas esféricas:
atheta = cos theta az - sin theta arho
Mas no plano z=0, theta = pi2, então cos theta = 0 e sin theta = 1. Assim, atheta = -arho.

Passo 5

Substituindo na expressão de J:
J = -kr sin theta atheta = -kr cdot 1 (-arho) = kr arho

Passo 6

No plano z=0, arho é radial no plano xy, e a direção normal é az. Então, o produto escalar J cdot az é zero, porque são perpendiculares.
J cdot az = 0

Passo 7

Isso significa que a corrente total na direção $ \mathbf{a}_{z} $ que atravessa o disco no plano az é zero.

Passo 8

Agora, vamos para o segundo caso: o disco está em z=h. Nesse caso, a direção normal ainda é $ \mathbf{a}_{z} $, mas agora estamos em um plano paralelo ao az , deslocado para cima.

Passo 9

Vamos parametrizar o disco em coordenadas cartesianas. Em z=h, as coordenadas esféricas são relacionadas por:
x = r sin theta cos phi y = r sin theta sin phi z = r cos theta = h
Então, cos theta = hr e sin theta = raizr^2 - h^2r.

Passo 10

A densidade de corrente é:
J = -kr sin theta atheta = -kraizr^2 - h^2r atheta = -k rraizr^2 - h^2 atheta

Passo 11

A direção atheta em coordenadas cartesianas é:
atheta = cos theta az - sin theta arho
Em z=h:
atheta = hr az - raizr^2 - h^2r arho

Passo 12

A corrente total na direção $ \mathbf{a}_{z} $ é dada por:
az

Passo 13

Calculando o produto escalar:
J cdot az = -k rraizr^2 - h^2 cdot hr = -k hraizr^2 - h^2

Passo 14

A área do disco em coordenadas cartesianas é dS = dx, dy. Porém, para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares no plano z=h:
dS = rho , drho , dphi onde rho = raizx^2 + y^2

Passo 15

Expressando raizr^2 - h^2 em termos de rho:
r = raizrho^2 + h^2 raizr^2 - h^2 = rho

Passo 16

Substituindo na expressão de J cdot az:
J cdot az = -k hrho

Passo 17

Agora, a integral para Iz fica:
Iz = integral duplaS -k hrho rho , drho , dphi = -k h integral duplaS drho , dphi

Passo 18

Integrando sobre o disco de raio R:
Iz = -k h integral0^2pi integral0^R drho , dphi = -k h cdot 2pi cdot R

Resposta

A corrente total na direção az que atravessa o disco é:
Iz = 0 & para z = 0, -2pi k h R & para z = h

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