Seja L: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que L(1,1,0)=(2,1), L(0,1,1)=(1,-1) e L(1,0,1)=(3,0).
(a) Encontre L(x, y, z)
(b) Verifique se L é sobrejetora

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes vetores do enunciado):
    \;L(1,1,0)=(2,1), \;L(0,1,1)=(1,-1) e \;L(1,0,1)=(3,0).
  • O enunciado pede:
    (a) Encontrar explicitamente L(x,y,z) para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
    (b) Verificar se L é sobrejetora (isto é, se a imagem de L é todo \mathbb{R}^2).

Passo 2

Ideia principal (sem ainda calcular): como L é linear, ela é determinada pelas imagens dos vetores da base padrão \;e_1=(1,0,0),\;e_2=(0,1,0),\;e_3=(0,0,1). Se chamarmos
u:=L(e_1),\qquad v:=L(e_2),\qquad w:=L(e_3),
então para qualquer (x,y,z) vale
L(x,y,z)=x\,u+y\,v+z\,w.
Vamos usar as igualdades dadas para obter um sistema para u,v,w.
Observação: os vetores fornecidos podem ser escritos em termos da base padrão:
(1,1,0)=e_1+e_2,\quad (0,1,1)=e_2+e_3,\quad (1,0,1)=e_1+e_3.
Pela linearidade de L obtemos as equações:
u+v=(2,1),\qquad v+w=(1,-1),\qquad u+w=(3,0).

Passo 3

Resolver o sistema para [u,v,w) (cada um em \mathbb{R}^2).
Escrevendo as três equações:
\begin{cases} u+v=(2,1),\\[4pt] v+w=(1,-1),\\[4pt] u+w=(3,0). \end{cases}
Some as duas primeiras equações:
(u+v)+(v+w)= (2,1)+(1,-1) \quad\Rightarrow\quad u+2v+w=(3,0).
Compare com a terceira equação u+w=(3,0)\]. Subtraindo \(u+w=(3,0) de u+2v+w=(3,0) vem
2v=(0,0)\quad\Rightarrow\quad v=(0,0).
Com v=(0,0) voltamos às outras equações:
u+v=(2,1)\Rightarrow u=(2,1),
v+w=(1,-1)\Rightarrow w=(1,-1).
Portanto:
u=L(e_1)=(2,1),\qquad v=L(e_2)=(0,0),\qquad w=L(e_3)=(1,-1).]

Passo 4

Montar a expressão de L(x,y,z) usando u,v,w.
Como L(x,y,z)=x\,u+y\,v+z\,w, substituindo:
L(x,y,z)=x(2,1)+y(0,0)+z(1,-1).
Somando componente a componente obtemos
L(x,y,z)=(2x+z,\; x-z).
Verificação rápida (para garantir que não houve erro):
  • Para (1,1,0): L(1,1,0)=(2\cdot1+0,\;1-0)=(2,1) — confere.
  • Para (0,1,1): L(0,1,1)=(0+1,\;0-1)=(1,-1) — confere.
  • Para (1,0,1): L(1,0,1)=(2+1,\;1-1)=(3,0) — confere.

Passo 5

Verificar se [L) é sobrejetora.
Definição usada: L é sobrejetora se, para qualquer (a,b)\in\mathbb{R}^2, existe (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 tal que L(x,y,z)=(a,b). Equivalente linearmente: as colunas da matriz de L devem gerar \mathbb{R}^2.
A matriz de L (linha por coluna) cujas colunas são u,v,w é
A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -1\end{pmatrix}.
A imagem de L é o espaço gerado pelas colunas u=(2,1), v=(0,0), w=(1,-1). Como v=(0,0), basta ver se u e w geram \mathbb{R}^2. Verificamos se são linearmente independentes olhando o determinante da matriz 2\times2 formada por u e w:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3\neq 0.
Determinante não nulo implica u e w são linearmente independentes e, portanto, geram \mathbb{R}^2. Logo \operatorname{Im}(L)=\mathbb{R}^2 e L é sobrejetora.
Uma demonstração alternativa e construtiva: dado (a,b), resolver
(2x+z,\;x-z)=(a,b).
Isto é o sistema linear em x,z:
\begin{cases} 2x+z=a,\\[4pt] x-z=b. \end{cases}
Somando as duas equações: 3x=a+b\Rightarrow x=\dfrac{a+b}{3}\]. Então \(z=x-b=\dfrac{a+b}{3}-b=\dfrac{a-2b}{3}. O valor de y pode ser qualquer número (por exemplo y=0). Assim para todo (a,b) existe solução (x,y,z), confirmando a sobjetividade.]

Resposta

(a) L(x,y,z)=(2x+z,\;x-z)
(b) Sim. L é sobrejetora.

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