Seja
tal que
e
.
(a) Encontre
(b) Encontre
e
(a) Encontre
(b) Encontre
Passo 1
O enunciado dá uma transformação
e fornece duas imagens:
-
. -
.
O enunciado pede duas coisas:
(a) uma expressão explícita de para um vetor genérico
;
(b) a determinação de e de
.
(a) uma expressão explícita de
(b) a determinação de
Essas são todas as informações relevantes fornecidas.
Passo 2
Interpretação útil (fato que vamos usar): para uma transformação linear
(pressuposto usual neste tipo de exercício), as imagens dos vetores da base canônica
e
formam as colunas da matriz de
na base padrão. Ou seja, se escrevemos a matriz
de
em relação à base canônica, então
onde
e
.
Aqui pegamos da informação do enunciado que
e
. Então escrevemos a matriz de
:
Passo 3
Agora usamos a matriz para obter a fórmula de
. Para um vetor genérico
escrito como vetor coluna, a ação é dada por multiplicação matricial:
Fazendo a multiplicação linha a linha (explicando passo a passo: o primeiro componente é
; o segundo componente é
) obtemos
Dica prática para a prova: decorar que as colunas da matriz são
e
, e que para calcular
basta combinar linearmente essas colunas com coeficientes
e
:
Passo 4
Definição e cálculo do núcleo (
Usando a fórmula encontrada, resolvemos o sistema homogêneo
Resolvendo: da primeira equação temos
. Então
. Portanto a única solução é
. Conclusão:
ou seja, o núcleo é trivial.
Comentário pedagógico: alternativas de solução seriam montar a matriz aumentada e fazer eliminação de Gauss; aqui a substituição direta é rápida porque são apenas duas equações.]
Passo 5
Definição e cálculo da imagem (
). Por definição,
Como já pegamos do enunciado, esses vetores são
e
. Logo
Para simplificar a descrição, verificamos se esses dois vetores são linearmente independentes. Um teste rápido é o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
Determinante não nulo significa que as colunas são linearmente independentes e, em
, dois vetores independentes geram todo
. Portanto
Comentário adicional (útil para prova): como
(dimensão
) e
, pelo teorema da dimensão (rank-nullity) temos
, confirmando que a imagem tem dimensão 2 e é
.]