Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(1,0)=(2,-1) e T(0,1)=(-1,3).
(a) Encontre T(x, y)
(b) Encontre \operatorname{ker}(T) e \operatorname{Im}(T)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} e fornece duas imagens:
  • T(1,0)=(2,-1).
  • T(0,1)=(-1,3).
O enunciado pede duas coisas:
(a) uma expressão explícita de T(x,y) para um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2;
(b) a determinação de \operatorname{ker}(T) e de \operatorname{Im}(T).
Essas são todas as informações relevantes fornecidas.

Passo 2

Interpretação útil (fato que vamos usar): para uma transformação linear T (pressuposto usual neste tipo de exercício), as imagens dos vetores da base canônica (1,0) e (0,1) formam as colunas da matriz de T na base padrão. Ou seja, se escrevemos a matriz A de T em relação à base canônica, então
A=\begin{pmatrix} \text{col}_1 & \text{col}_2 \end{pmatrix},
onde \text{col}_1=T(1,0) e \text{col}_2=T(0,1).
Aqui pegamos da informação do enunciado que \text{col}_1=(2,-1) e \text{col}_2=(-1,3). Então escrevemos a matriz de T:
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora usamos a matriz para obter a fórmula de T(x,y). Para um vetor genérico (x,y) escrito como vetor coluna, a ação é dada por multiplicação matricial:
T\!\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação linha a linha (explicando passo a passo: o primeiro componente é 2\cdot x + (-1)\cdot y; o segundo componente é (-1)\cdot x + 3\cdot y) obtemos
T(x,y) = \bigl(2x - y,\; -x + 3y\bigr).
Dica prática para a prova: decorar que as colunas da matriz são T(1,0) e T(0,1), e que para calcular T(x,y) basta combinar linearmente essas colunas com coeficientes x e y:
T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1)=x(2,-1)+y(-1,3)=(2x-y,-x+3y).]

Passo 4

Definição e cálculo do núcleo ( \operatorname{ker}(T)\)). Por definição, \[\operatorname{ker}(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(0,0)\}.
Usando a fórmula encontrada, resolvemos o sistema homogêneo
\begin{cases} 2x - y = 0,\\[4pt] - x + 3y = 0. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação temos y=2x\]. Substituindo na segunda: \[- x + 3(2x) = -x + 6x = 5x = 0,\] logo \(x=0. Então y=2\cdot 0=0. Portanto a única solução é (0,0). Conclusão:
\operatorname{ker}(T)=\{(0,0)\},
ou seja, o núcleo é trivial.
Comentário pedagógico: alternativas de solução seriam montar a matriz aumentada e fazer eliminação de Gauss; aqui a substituição direta é rápida porque são apenas duas equações.]

Passo 5

Definição e cálculo da imagem ( \operatorname{Im}(T)). Por definição,
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^2\}=\operatorname{span}\{T(1,0),T(0,1)\}.
Como já pegamos do enunciado, esses vetores são (2,-1) e (-1,3). Logo
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(2,-1),(-1,3)\}.
Para simplificar a descrição, verificamos se esses dois vetores são linearmente independentes. Um teste rápido é o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\det(A)=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}=2\cdot 3 - (-1)\cdot(-1)=6-1=5\neq 0.
Determinante não nulo significa que as colunas são linearmente independentes e, em \mathbb{R}^2, dois vetores independentes geram todo \mathbb{R}^2. Portanto
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
Comentário adicional (útil para prova): como \operatorname{ker}(T)=\{0\} (dimensão 0) e \dim\mathbb{R}^2=2, pelo teorema da dimensão (rank-nullity) temos \operatorname{rank}(T)=2, confirmando que a imagem tem dimensão 2 e é \mathbb{R}^2.]

Resposta

T(x,y)=(2x-y,\,-x+3y)
\operatorname{ker}(T)=\{(0,0)\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}

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