Seja
tal que
e
.
(a) Encontre
(b) Encontre
e
(a) Encontre
(b) Encontre
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação
com as imagens de dois vetores:
-
. -
.
O que é pedido:
(a) Encontrar a expressão geral de para um vetor arbitrário
.
(b) Encontrar e
.
(a) Encontrar a expressão geral de
(b) Encontrar
Passo 2
Primeiro vamos ver se os vetores
e
geram
, ou seja, se são linearmente independentes. Considere a combinação linear
Isso dá as duas equações
e
. Da primeira segue
; substituindo na segunda vem
e, portanto,
. Logo são linearmente independentes. Outra verificação rápida é o determinante da matriz formada por esses vetores como colunas:
o que confirma que formam base de
. Assim qualquer
pode ser escrito de forma única como combinação linear desses dois vetores.]
Passo 3
Escrevemos
como combinação
Comparando coordenadas obtemos o sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Portanto a decomposição é
Passo 4
Usando linearidade de
(isto é,
), aplicamos
à decomposição do passo anterior:
Substituindo as imagens dadas:
Agora fazemos a soma componente a componente. Primeiro parte:
Segunda parte:
Somando:
Para simplificar a segunda componente colocamos em uma única fração:
Portanto a expressão final é
Passo 5
Agora calculamos
e
usando a fórmula encontrada.
Para
:
Para
: