Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(1,1)=(3,5,4) e T(0,-3)=(0,1,0).
(a) Encontre T(x, y)
(b) Encontre T(1,0) e T(0,1)

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 com as imagens de dois vetores:
  • T(1,1)=(3,5,4).
  • T(0,-3)=(0,1,0).
O que é pedido:
(a) Encontrar a expressão geral de T(x,y) para um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2.
(b) Encontrar T(1,0) e T(0,1).

Passo 2

Primeiro vamos ver se os vetores (1,1) e (0,-3) geram \mathbb{R}^2, ou seja, se são linearmente independentes. Considere a combinação linear
\alpha(1,1)+\beta(0,-3)=(0,0).
Isso dá as duas equações \alpha=0 e \alpha-3\beta=0. Da primeira segue \alpha=0; substituindo na segunda vem -3\beta=0 e, portanto, \beta=0. Logo são linearmente independentes. Outra verificação rápida é o determinante da matriz formada por esses vetores como colunas:
\det\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix} = -3\neq 0,
o que confirma que formam base de \mathbb{R}^2. Assim qualquer (x,y) pode ser escrito de forma única como combinação linear desses dois vetores.]

Passo 3

Escrevemos (x,y) como combinação
(x,y)=a(1,1)+b(0,-3).
Comparando coordenadas obtemos o sistema
a = x, \qquad a-3b = y.
Da primeira equação vem a=x. Substituindo na segunda:
x-3b = y \quad\Rightarrow\quad b=\frac{x-y}{3}.
Portanto a decomposição é
(x,y) = x(1,1) + \frac{x-y}{3}(0,-3).

Passo 4

Usando linearidade de T (isto é, T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)), aplicamos T à decomposição do passo anterior:
T(x,y) = x\,T(1,1) + \frac{x-y}{3}\,T(0,-3).
Substituindo as imagens dadas:
T(x,y) = x\,(3,5,4) + \frac{x-y}{3}\,(0,1,0).
Agora fazemos a soma componente a componente. Primeiro parte:
x\,(3,5,4) = (3x,\,5x,\,4x).
Segunda parte:
\frac{x-y}{3}\,(0,1,0) = \left(0,\,\frac{x-y}{3},\,0\right).
Somando:
T(x,y) = \Bigl(3x,\;5x+\frac{x-y}{3},\;4x\Bigr).
Para simplificar a segunda componente colocamos em uma única fração:
5x+\frac{x-y}{3} = \frac{15x+x-y}{3} = \frac{16x-y}{3}.
Portanto a expressão final é
T(x,y) = \left(3x,\;\frac{16x-y}{3},\;4x\right).

Passo 5

Agora calculamos T(1,0) e T(0,1) usando a fórmula encontrada.
Para (1,0):
T(1,0)=\left(3\cdot 1,\;\frac{16\cdot 1 - 0}{3},\;4\cdot 1\right) = \left(3,\;\frac{16}{3},\;4\right).
Para (0,1):
T(0,1)=\left(3\cdot 0,\;\frac{16\cdot 0 - 1}{3},\;4\cdot 0\right) = \left(0,\;-\frac{1}{3},\;0\right).

Resposta

T(x,y)=\displaystyle\left(3x,\;\frac{16x-y}{3},\;4x\right)
T(1,0)=\displaystyle\left(3,\;\frac{16}{3},\;4\right)
T(0,1)=\displaystyle\left(0,\;-\frac{1}{3},\;0\right)

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