Seja p in Pn. Como Lp0, ldots, Lpn é base de Pn^* *, concluímos que Lp=alpha0 Lp0+ldots+alphan Lpn. Mostre que alphaj=Lp(faj).

Passo 1

O enunciado diz que temos um polinômio pinPn e que
Lp0,dots,Lpn é base de Pn^**,
logo existe única forma de escrever
Lp ;=;alpha0,Lp0+cdots+alphan,Lpn
Queremos encontrar cada coeficiente alphaj. Para isso, usaremos as funções de avaliação
;fajinPn^* definidas por
faj(q)=q(aj),
e a propriedade de que os pi são os polinômios de Lagrange em nós a0,dots,an, isto é,
pi(aj)=1,&i=j,0,&ineq j

Passo 2

Aplicamos ambos os lados da igualdade
Lp ;=;sumi=0^n alphai,Lpi
no funcional faj. Assim obtemos
Lpl(fajr) ;=; sumi=0^n alphai,Lpil(fajr)

Passo 3

Note que por definição de
Logo, na soma só sobrevive o termo (i=j], dando

Resposta

alphaj ;=; Lpl(fajr)

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