Seja
a carga por unidade de comprimento distribuída uniformemente ao longo de um segmento de reta de comprimento
. Mostre que o potencial eletrostático num ponto afastado de uma distância
de uma das extremidades do segmento carregado ao longo de seu prolongamento é dado por:
A partir deste resultado, mostre que a intensidade do campo elétrico ao longo da direção
é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma carga distribuída de forma uniforme ao longo de uma linha reta de comprimento $ L $. Precisamos mostrar duas coisas:
- Potencial Eletrostático $ V $: Queremos encontrar a expressão do potencial eletrostático em um ponto que está a uma distância $ y $ de uma das extremidades desse segmento carregado.
- Campo Elétrico $ E $: A partir do potencial encontrado, vamos derivar a intensidade do campo elétrico na direção $ y $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a integração para cargas contínuas e a relação entre potencial e campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o potencial eletrostático $ V $ devido a uma linha de carga distribuída. O potencial devido a uma carga pontual é dado por:
Onde:
- $ dq $ é uma pequena quantidade de carga.
- $ r $ é a distância entre $ dq $ e o ponto onde estamos calculando o potencial.
- $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
No nosso caso, a carga está distribuída uniformemente, então $ \lambda = \frac{dq}{dx} $, onde $ \lambda $ é a carga por unidade de comprimento.
Passo 3
Vamos montar a integral para o potencial total $ V $ no ponto a distância $ y $ da extremidade.
Considerando que o segmento de carga vai de $ x = 0 $ até $ x = L $, a distância $ r $ de um ponto $ x $ no segmento até o ponto onde calculamos $ V $ é $ y + x $. Assim, a integral fica:
Essa integral é fácil de resolver, já que é a integral de $ \frac{1}{y + x} $.
Passo 4
Resolvendo a integral, temos:
Usando a propriedade dos logaritmos $ \ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right) $, podemos simplificar:
Isso confirma a primeira parte do enunciado.
Passo 5
Agora, para encontrar o campo elétrico $ E $ na direção $ y $, usamos a relação entre o campo elétrico e o potencial:
Vamos derivar $ V $ em relação a $ y $:
A derivada de $ \ln\left( \frac{L + y}{y} \right) $ em relação a $ y $ é:
Portanto,
Resposta
A intensidade do campo elétrico na direção $ y $ é dada por: