1. Seja \lambda um número complexo e f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} uma função inteira tal que:
  • f(0)=1
  • f^{\prime}(z)=\lambda f(z), para todo z \in \mathbb{C}
Mostre que f(z)=e^{\lambda z}, para todo z \in \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma função inteira f satisfazendo
  1. f(0)=1
  2. f'(z)=\lambda f(z) para todo z\in\mathbb{C}
    é dada por f(z)=e^{\lambda z}.
    Isso é um problema de equação diferencial linear de primeira ordem no contexto de funções analíticas.

Passo 2

Definimos
g(z)=f(z)\,e^{-\lambda z}.
Como f é inteira e e^{-\lambda z} também, segue que g é inteira. Calculamos a derivada de g:
g'(z) = f'(z)\,e^{-\lambda z} \;-\;\lambda\,f(z)\,e^{-\lambda z} = \bigl(\lambda f(z)\bigr)e^{-\lambda z} \;-\;\lambda f(z)e^{-\lambda z} =0.
Logo, g é constante em \mathbb{C}.

Passo 3

Como g é constante, g(z)=g(0) para todo z. Mas
g(0)=f(0)\,e^{-\lambda\cdot0}=1\cdot1=1.
Portanto g(z)=1 e, revertendo a definição de g, obtemos
f(z)\,e^{-\lambda z}=1 \quad\Longrightarrow\quad f(z)=e^{\lambda z}.

Resposta

f(z)=e^{\lambda z} para todo z\in\mathbb{C}.

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