- Seja
e
uma função de classe
tal que
. Supondo que existem funções holomorfas
tais que
e
, mostre que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado considera o disco unitário
e uma função
de classe
tal que existe
holomorfa com
e existe
holomorfa com
Além disso, sabe-se que
O objetivo é mostrar que
para todo
. Vamos usar que a parte real de função holomorfa é harmônica
e a mesma propriedade para
, além da fórmula da laplaciana de um quadrado.
Passo 2
Como
é holomorfa e
, sabemos que
é harmônica em
. Ou seja,
Passo 3
De modo análogo,
é harmônica, logo
Por outro lado, usando a regra de derivação para produto,
Como
, isso reduz-se a
A condição
implica
portanto
e
em todo
.
Passo 4
Do fato de todas as derivadas parciais de
serem zero, concluímos que
é constante em
. Como
, essa constante deve ser zero.