1. Seja \Omega=\{z \in \mathbb{C} ;|z|<1\} e u: \Omega \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe C^{2} tal que u\left(\frac{1+i}{2025}\right)=0. Supondo que existem funções holomorfas f, g: \Omega \rightarrow \mathbb{C} tais que u=\operatorname{Re}(f) e u^{2}=\operatorname{Re}(g), mostre que u(x, y)=0, para todo (x, y) \in \Omega.

Passo 1

O enunciado considera o disco unitário
\Omega=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|<1\}
e uma função u:\Omega\to\mathbb{R} de classe C^2 tal que existe f holomorfa com
u=\Re(f)
e existe g holomorfa com
u^2=\Re(g).
Além disso, sabe-se que
u\!\Bigl(\frac{1+i}{2025}\Bigr)=0.
O objetivo é mostrar que u(x,y)=0 para todo (x,y)\in\Omega. Vamos usar que a parte real de função holomorfa é harmônica \Delta u=0 e a mesma propriedade para u^2, além da fórmula da laplaciana de um quadrado.

Passo 2

Como f é holomorfa e u=\Re(f), sabemos que u é harmônica em \Omega. Ou seja,
\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0.

Passo 3

De modo análogo, u^2=\Re(g) é harmônica, logo
\Delta(u^2)=0.
Por outro lado, usando a regra de derivação para produto,
\Delta(u^2) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}(u^2)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}(u^2) = 2\bigl(u_x^2 + u_y^2\bigr) + 2u\,\Delta u.
Como \Delta u=0, isso reduz-se a
\Delta(u^2)=2\bigl(u_x^2+u_y^2\bigr).
A condição \Delta(u^2)=0 implica
u_x^2+u_y^2=0\quad\text{em }\Omega,
portanto u_x=0 e u_y=0 em todo \Omega.

Passo 4

Do fato de todas as derivadas parciais de u serem zero, concluímos que u é constante em \Omega. Como u\bigl((1+i)/2025\bigr)=0, essa constante deve ser zero.

Resposta

u(x,y)=0\quad\text{para todo }(x,y)\in\Omega.

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