Seja
a curva dada por
.
(a) Se possível, ache
onde a tangente à curva dada é paralela a
;
(b) Idem, para que a tangente seja ortogonal ao vetor
;
(c) Sendo
a reta tangente à curva dada em um ponto qualquer
, considere o ponto
em que
intercepta o plano
. Mostre que
, e que tais pontos descrevem a parábola definida por
e
.
(a) Se possível, ache
(b) Idem, para que a tangente seja ortogonal ao vetor
(c) Sendo
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida por
e pede três coisas:
(a) Encontrar pontos
onde a tangente à curva é paralela ao vetor
.
(b) Encontrar pontos onde a tangente é ortogonal ao vetor
.
(c) Para a reta
tangente à curva em um ponto
com
(ou seja,
), determinar o ponto
onde
intercepta o plano
e mostrar que tais pontos formam a parábola dada por
no plano
.
Informações relevantes dadas:
- A curva explora todos os
. - O vetor fixo é
. - No item (c) exige-se
.
Passo 2
Primeiro vamos obter o vetor tangente à curva em um parâmetro
. A derivada de
fornece esse vetor tangente (intuitivamente: deriva cada componente em relação a
, que é a “velocidade” da curva).
Aqui
é um vetor em
que aponta na direção da tangente da curva no ponto
. Em provas é padrão usar esse vetor para testar paralelismo (ser múltiplo escalar) ou ortogonalidade (produto escalar nulo).
Passo 3
Parte (a): critério de paralelismo e cálculo.
Critério: dois vetores
e
são paralelos se existe
tal que
.
Aplicando isso, queremos
para algum
. Escrevendo as componentes:
Isto gera o sistema escalar
Da primeira equação temos
Substituindo na segunda:
Verificamos a terceira com
:
e como
a igualdade se confirma. Logo há exatamente um
real que satisfaz,
.
O ponto pedido é
Passo 4
Parte (b): critério de ortogonalidade e resolução.
Critério: dois vetores
e
são ortogonais se o produto escalar
.
Queremos
. Calculamos:
Então resolvemos a equação quadrática
Calcule o discriminante
:
Como
não existem raízes reais. Conclusão: não existe
tal que
seja ortogonal a
. Em palavras: a tangente nunca é perpendicular ao vetor
.
Passo 5
Parte (c): equação da reta tangente e interseção com o plano
.
A reta tangente
em
tem equação paramétrica (usando parâmetro
)
Escrevendo componentes:
Queremos o ponto
onde essa reta intercepta o plano
. Ou seja, achar
tal que a terceira componente seja zero:
Fatorando:
Como estamos no caso
temos
, logo
e assim
Substituímos esse
nas coordenadas
e
da reta:
e a terceira coordenada é
por construção. Assim obtemos
conforme pedido.
Passo 6
Mostrar que os pontos
descrevem a parábola
no plano
.
Eliminamos o parâmetro
. Da coordenada
temos
Substituindo em
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
dá
com
. Portanto os pontos
(com
) descrevem exatamente a parábola do plano
definida por
.
Resposta
(a)
(b) Não existe tal que a tangente seja ortogonal a
(c) . Esses pontos satisfazem
e
.
(b) Não existe
(c)