Seja W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{C}) \right\rvert\, a_{11}+a_{12}=0\right\}.
(a) Mostre que W é um espaço vetorial sobre \mathbb{R};
(b) Determine uma base de W;
(c) Seja W_{1}=\left\{\left(a_{i j}\right) \in M_{2}(\mathbb{C}) \mid a_{21}=-\overline{a_{12}}\right\}. Prove que W_{1} é um subespaço de M_{2}(\mathbb{C}) sobre \mathbb{R} e determine uma base de W_{1}.
Passo 1
O enunciado dá dois subconjuntos de M_2(\mathbb{C}) e pede três coisas:
Parte (a): mostrar que W=\left\{\left.\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{C}) \\ \right|\\ a_{11}+a_{12}=0\right\} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Parte (b): determinar uma base de W (isto é, um conjunto de matrizes em W que gere W por combinações lineares com escalares reais e que seja linearmente independente sobre \mathbb{R}).
Parte (c): com W_{1}=\left\{\left(a_{ij}\right)\in M_{2}(\mathbb{C}) \mid a_{21}=-\overline{a_{12}}\right\}, provar que W_{1} é um subespaço de M_{2}(\mathbb{C}) sobre \mathbb{R} e determinar uma base de W_{1}.
Informações úteis dadas no enunciado:
As entradas a_{ij} são números complexos (cada a_{ij}\in\mathbb{C}).
Quando se pede “sobre \mathbb{R}”, significa que os escalares permitidos nas combinações lineares são números reais (não complexos).]
Passo 2
Entendimento e estratégia (sem resolver ainda): para provar que um subconjunto S\subseteq M_2(\mathbb{C}) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} normalmente basta mostrar três propriedades básicas (prova direta):
S não é vazio (por exemplo contém a matriz zero).
S é fechado sob soma: se X,Y\in S então X+Y\in S.
S é fechado sob multiplicação por escalares reais: se r\in\mathbb{R} e X\in S então rX\in S.
Para encontrar uma base de um conjunto definido por restrições lineares nas entradas, é conveniente:
escrever a condição explícita sobre as entradas e expressar as entradas livres (parâmetros) e então dividir cada parâmetro complexo em parte real e imaginária (porque estamos trabalhando sobre \mathbb{R}). Cada parâmetro complexo fornece duas coordenadas reais, e cada coordenada real corresponde a um gerador (matriz) com entrada 1 nessa posição e zeros nas demais (ou com i quando for a parte imaginária).
mostrar que os geradores escolhidos geram todo o conjunto e que são linearmente independentes sobre \mathbb{R}.
Agora aplicamos isso concretamente a W e a W_1.
Passo 3
Parte (a): reescrever a restrição de W e parametrizar.
com a_{12},a_{21},a_{22}\in\mathbb{C}. Para escrever combinações lineares com escalares reais, separamos cada parâmetro complexo em parte real e imaginária:
Entrada (1,1) dá -\alpha_1 - i\alpha_2 = 0. Como os coeficientes são números complexos e a soma é zero, a parte real e a parte imaginária devem ser zero separadamente. Portanto \alpha_1=0 e \alpha_2=0.
Entrada (1,2) dá \alpha_1 + i\alpha_2 = 0, o que já é compatível com \alpha_1=\alpha_2=0.
Entrada (2,1) dá \alpha_3 + i\alpha_4 = 0, logo \alpha_3=0 e \alpha_4=0.
Entrada (2,2) dá \alpha_5 + i\alpha_6 = 0, logo \alpha_5=0 e \alpha_6=0.
Assim todos os \alpha_j são zero, provando independência linear sobre \mathbb{R}. Conclui-se que \{E_1,\dots,E_6\} é uma base de W sobre \mathbb{R}. Observação: a dimensão real de W é 6.]
Passo 5
Parte (c), primeiro passo: mostrar que W_{1}=\{(a_{ij})\in M_2(\mathbb{C}) \mid a_{21}=-\overline{a_{12}}\} é subespaço sobre \mathbb{R}.
Verificações (semântica igual à de antes):
Não vazio: tomar a_{12}=0, a_{11}=0, a_{22}=0 dá a matriz zero, que satisfaz a_{21}=0=-\overline{0}.
Fechamento por soma: sejam
X=\begin{pmatrix}x_{11} & z \\\\ -\overline{z} & x_{22}\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}y_{11} & w \\\\ -\overline{w} & y_{22}\end{pmatrix},
com z,w,x_{11},x_{22},y_{11},y_{22}\in\mathbb{C}. Então
Fechamento por multiplicação por escalar real: para r\in\mathbb{R},
rX=\begin{pmatrix}r x_{11} & r z \\\ r(-\overline{z}) & r x_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}r x_{11} & r z \\\\ -\overline{(r z)} & r x_{22}\end{pmatrix},
porque \overline{r z}=r\overline{z} quando r\in\mathbb{R}. Portanto rX\in W_1.
Assim W_1 é um subespaço de M_2(\mathbb{C}) sobre \mathbb{R}.
Passo 6
Parte (c), segunda etapa: parametrizar W_1 e encontrar uma base.
Escreva a_{12}=z\in\mathbb{C}. Então a_{21}=-\overline{z}. As outras entradas a_{11} e a_{22} são livres em \mathbb{C}. Logo uma matriz em W_1 tem a forma
com a_{11},a_{22},z\in\mathbb{C}. Novamente, cada uma dessas três entradas complexas corresponde a duas coordenadas reais (parte real e parte imaginária), portanto a dimensão real esperada é 6.