Seja W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{C}) \right\rvert\, a_{11}+a_{12}=0\right\}.
(a) Mostre que W é um espaço vetorial sobre \mathbb{R};
(b) Determine uma base de W;
(c) Seja W_{1}=\left\{\left(a_{i j}\right) \in M_{2}(\mathbb{C}) \mid a_{21}=-\overline{a_{12}}\right\}. Prove que W_{1} é um subespaço de M_{2}(\mathbb{C}) sobre \mathbb{R} e determine uma base de W_{1}.

Passo 1

O enunciado dá dois subconjuntos de M_2(\mathbb{C}) e pede três coisas:
  • Parte (a): mostrar que W=\left\{\left.\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{C}) \\ \right|\\ a_{11}+a_{12}=0\right\} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
  • Parte (b): determinar uma base de W (isto é, um conjunto de matrizes em W que gere W por combinações lineares com escalares reais e que seja linearmente independente sobre \mathbb{R}).
  • Parte (c): com W_{1}=\left\{\left(a_{ij}\right)\in M_{2}(\mathbb{C}) \mid a_{21}=-\overline{a_{12}}\right\}, provar que W_{1} é um subespaço de M_{2}(\mathbb{C}) sobre \mathbb{R} e determinar uma base de W_{1}.
Informações úteis dadas no enunciado:
  • As entradas a_{ij} são números complexos (cada a_{ij}\in\mathbb{C}).
  • Quando se pede “sobre \mathbb{R}”, significa que os escalares permitidos nas combinações lineares são números reais (não complexos).]

Passo 2

Entendimento e estratégia (sem resolver ainda): para provar que um subconjunto S\subseteq M_2(\mathbb{C}) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} normalmente basta mostrar três propriedades básicas (prova direta):
  1. S não é vazio (por exemplo contém a matriz zero).
  2. S é fechado sob soma: se X,Y\in S então X+Y\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalares reais: se r\in\mathbb{R} e X\in S então rX\in S.
Para encontrar uma base de um conjunto definido por restrições lineares nas entradas, é conveniente:
  • escrever a condição explícita sobre as entradas e expressar as entradas livres (parâmetros) e então dividir cada parâmetro complexo em parte real e imaginária (porque estamos trabalhando sobre \mathbb{R}). Cada parâmetro complexo fornece duas coordenadas reais, e cada coordenada real corresponde a um gerador (matriz) com entrada 1 nessa posição e zeros nas demais (ou com i quando for a parte imaginária).
  • mostrar que os geradores escolhidos geram todo o conjunto e que são linearmente independentes sobre \mathbb{R}.
Agora aplicamos isso concretamente a W e a W_1.

Passo 3

Parte (a): reescrever a restrição de W e parametrizar.
A condição a_{11}+a_{12}=0 implica
a_{11}=-a_{12}.
Portanto uma matriz em W tem a forma
\begin{pmatrix} -a_{12} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},
onde a_{12},a_{21},a_{22}\in\mathbb{C} são livres. Isso mostra diretamente que W não é vazio (a matriz nula obtém-se com a_{12}=a_{21}=a_{22}=0).
Agora verificamos as três propriedades de subespaço (fechamento) usando essa parametrização:
  • Fechamento por soma: sejam
X=\begin{pmatrix}-z & z \\\ y & w\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}-z' & z' \\\ y' & w'\end{pmatrix},
com z,z',y,y',w,w'\in\mathbb{C}. Então
X+Y=\begin{pmatrix}-(z+z') & z+z' \\\ y+y' & w+w'\end{pmatrix},
e a condição (1,1)+(1,2)=0 segue pois -(z+z')+(z+z')=0. Logo X+Y\in W.
  • Fechamento por multiplicação por escalar real: para r\in\mathbb{R},
rX=\begin{pmatrix}-r z & r z \\\ r y & r w\end{pmatrix},
e novamente -rz + rz =0. Então rX\in W.
  • Não vazio já verificado (matriz zero).
Portanto W é um subespaço de M_2(\mathbb{C}) quando considerado como espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Isso conclui a parte (a).]

Passo 4

Parte (b): determinar uma base de W.
Como visto, um elemento geral de W é
\begin{pmatrix} -a_{12} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},
com a_{12},a_{21},a_{22}\in\mathbb{C}. Para escrever combinações lineares com escalares reais, separamos cada parâmetro complexo em parte real e imaginária:
a_{12}=u+iv,\qquad a_{21}=s+it,\qquad a_{22}=p+iq,
com u,v,s,t,p,q\in\mathbb{R}. Substituindo,
\begin{pmatrix} -(u+iv) & u+iv\\[4pt] s+it & p+iq \end{pmatrix} = u\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} +v\begin{pmatrix}-i & i\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] i & 0\end{pmatrix} +p\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} +q\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & i\end{pmatrix}.
Portanto um conjunto natural de geradores é (escrevo-os em forma matricial):
E_1=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}-i & i\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_3=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
E_4=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] i & 0\end{pmatrix},\quad E_5=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_6=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & i\end{pmatrix}.
Mostrei que qualquer matriz de W é combinação real desses seis, logo eles geram W.
Agora devemos checar independência linear sobre \mathbb{R}. Suponha que existam escalares reais \alpha_1,\dots,\alpha_6\in\mathbb{R} tais que
\alpha_1 E_1+\alpha_2 E_2+\alpha_3 E_3+\alpha_4 E_4+\alpha_5 E_5+\alpha_6 E_6 = 0_{2\times2}.
Olhemos as entradas da matriz resultante:
  • Entrada (1,1) -\alpha_1 - i\alpha_2 = 0. Como os coeficientes são números complexos e a soma é zero, a parte real e a parte imaginária devem ser zero separadamente. Portanto \alpha_1=0 e \alpha_2=0.
  • Entrada (1,2) \alpha_1 + i\alpha_2 = 0, o que já é compatível com \alpha_1=\alpha_2=0.
  • Entrada (2,1) \alpha_3 + i\alpha_4 = 0, logo \alpha_3=0 e \alpha_4=0.
  • Entrada (2,2) \alpha_5 + i\alpha_6 = 0, logo \alpha_5=0 e \alpha_6=0.
Assim todos os \alpha_j são zero, provando independência linear sobre \mathbb{R}. Conclui-se que \{E_1,\dots,E_6\} é uma base de W sobre \mathbb{R}. Observação: a dimensão real de W é 6.]

Passo 5

Parte (c), primeiro passo: mostrar que W_{1}=\{(a_{ij})\in M_2(\mathbb{C}) \mid a_{21}=-\overline{a_{12}}\} é subespaço sobre \mathbb{R}.
Verificações (semântica igual à de antes):
  • Não vazio: tomar a_{12}=0, a_{11}=0, a_{22}=0 dá a matriz zero, que satisfaz a_{21}=0=-\overline{0}.
  • Fechamento por soma: sejam
X=\begin{pmatrix}x_{11} & z \\\\ -\overline{z} & x_{22}\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}y_{11} & w \\\\ -\overline{w} & y_{22}\end{pmatrix},
com z,w,x_{11},x_{22},y_{11},y_{22}\in\mathbb{C}. Então
X+Y=\begin{pmatrix}x_{11}+y_{11} & z+w \\\\ -\overline{z}-\overline{w} & x_{22}+y_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_{11}+y_{11} & z+w \\\\ -\overline{(z+w)} & x_{22}+y_{22}\end{pmatrix},
logo a condição se mantém e X+Y\in W_1.
  • Fechamento por multiplicação por escalar real: para r\in\mathbb{R},
rX=\begin{pmatrix}r x_{11} & r z \\\ r(-\overline{z}) & r x_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}r x_{11} & r z \\\\ -\overline{(r z)} & r x_{22}\end{pmatrix},
porque \overline{r z}=r\overline{z} quando r\in\mathbb{R}. Portanto rX\in W_1.
Assim W_1 é um subespaço de M_2(\mathbb{C}) sobre \mathbb{R}.

Passo 6

Parte (c), segunda etapa: parametrizar W_1 e encontrar uma base.
Escreva a_{12}=z\in\mathbb{C}. Então a_{21}=-\overline{z}. As outras entradas a_{11} e a_{22} são livres em \mathbb{C}. Logo uma matriz em W_1 tem a forma
\begin{pmatrix} a_{11} & z\\[4pt] -\overline{z} & a_{22} \end{pmatrix},
com a_{11},a_{22},z\in\mathbb{C}. Novamente, cada uma dessas três entradas complexas corresponde a duas coordenadas reais (parte real e parte imaginária), portanto a dimensão real esperada é 6.
Separamos em partes reais e imaginárias:
a_{11}=\alpha+i\beta,\qquad a_{22}=\gamma+i\delta,\qquad z=u+iv,
com \alpha,\beta,\gamma,\delta,u,v\in\mathbb{R}. Note que
-\overline{z}=-(u-iv)=-u+iv.
Agora escrevemos a matriz como combinação linear real de matrizes canônicas:
\begin{pmatrix} \alpha+i\beta & u+iv\\[4pt] -u+iv & \gamma+i\delta \end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}i & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} +\delta\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & i\end{pmatrix}
\qquad +u\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} +v\begin{pmatrix}0 & i\\[4pt] i & 0\end{pmatrix}.
Portanto o conjunto de seis matrizes
F_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad F_2=\begin{pmatrix}i & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad F_3=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
F_4=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & i\end{pmatrix},\quad F_5=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix},\quad F_6=\begin{pmatrix}0 & i\\[4pt] i & 0\end{pmatrix}
gera W_1 por combinações lineares com coeficientes reais.
Mostramos independência linear sobre \mathbb{R}: suponha que existam reais \lambda_1,\dots,\lambda_6 tais que
\sum_{k=1}^6 \lambda_k F_k = 0_{2\times2}.
Olhando as entradas:
  • Entrada (1,1) resulta \lambda_1 + i\lambda_2 = 0, portanto \lambda_1=\lambda_2=0.
  • Entrada (2,2) resulta \lambda_3 + i\lambda_4 = 0, portanto \lambda_3=\lambda_4=0.
  • Entradas (1,2) e (2,1) resultam \lambda_5 + i\lambda_6 = 0 e -\lambda_5 + i\lambda_6 = 0. Somando e subtraindo, obtém-se \lambda_5=0 e \lambda_6=0.
Assim todos os coeficientes são zero, provando independência. Logo \{F_1,\dots,F_6\} é uma base de W_1 sobre \mathbb{R}. A dimensão real de W_1 é 6.]

Resposta

(a) W é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
(b) Uma base de W sobre \mathbb{R} é, por exemplo,
\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-i & i\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]i & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & i\end{pmatrix}.
(c) W_{1} é um subespaço de M_{2}(\mathbb{C}) sobre \mathbb{R}. Uma base de W_{1} sobre \mathbb{R} é, por exemplo,
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}i & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & i\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & i\\[4pt] i & 0\end{pmatrix}.]

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