Considere a proposição a seguir.
Proposição 2.3.12. Seja
um espaço vetorial sobre um corpo
, e seja
. São equivalentes:
(a)
é uma base de
;
(b) Todo vetor de
se escreve de maneira única como combinação linear de elementos de
.
Prove essa proposição sem a hipótese de que
seja finita.
(a)
(b) Todo vetor de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte afirmação.
- Dado:
é um espaço vetorial sobre um corpo (não se assume finita) e . - São consideradas duas afirmações sobre
:
(a)é uma base de .
(b) Todo vetor dese escreve de maneira única como combinação linear de elementos de .
O que se pede: provar que (a) e (b) são equivalentes, isto é, provar
e
, sem usar hipótese de dimensão finita.
Passo 2
Primeiro, esclarecer definições que vamos usar (tudo com linguagem bem direta).
-
Por definição, dizer que
é uma base de significa que: -
gera (ou seja, ); e -
é linearmente independente.
-
-
Definição de combinação linear (ponto importante para espaços possivelmente infinitos): uma combinação linear de elementos de
é sempre uma soma finita
com
,
e
. Não estamos permitindo somas infinitas — a noção de base aqui é a de base algébrica (Hamel), onde toda combinação linear tem suporte finito. É essencial lembrar isso para a equivalência em espaços infinitos.
- Definição de independência linear: um subconjunto
é linearmente independente se, sempre que
com
distintos e
, então
para todo
.
- “Representação única” em (b) significa: para cada
existe uma escrita com e essa escrita é única no sentido de que, se
com coeficientes em
e elementos de
, então as duas somas representam exatamente os mesmos termos com os mesmos coeficientes (podemos rearranjar e identificar termos iguais), e em particular cada coeficiente correspondente coincide.
Passo 3
Prova de
.
Suponha que
é uma base de
. Então por definição:
- Geração
existência: como , para todo existe uma expressão finita
com
e
. Isso prova a existência de representação.
- Independência
unicidade: suponha que um mesmo tem duas representações finitas
com
. Subtraindo lado a lado obtemos uma combinação linear finita igual a zero:
Agrupando termos iguais (ou simplesmente considerando a união finita dos vetores usados) obtemos uma expressão da forma
com
distintos. Pela independência de
segue que todos os
são zero. Isso força que os coeficientes originais
e
coincidam nas correspondências, ou seja, as duas representações são idênticas. Assim a representação é única.
Combinação das duas partes: para todo
existe uma representação finita em termos de
e essa representação é única. Logo (b) vale.
Passo 4
Prova de
.
Suponha que (b) seja verdade: todo vetor
admite uma representação finita e essa representação é única.
-
Geração: a própria hipótese afirma existência de representação para todo
. Logo . Assim gera . -
Independência: para testar independência, tome uma combinação linear finita que resulte no vetor zero:
com
distintos e
. Observe que a representação do vetor
dada pela hipótese (b) é única. Mas o vetor
tem certamente a representação trivial com todos coeficientes zero:
Comparando essa representação trivial com a representação acima e usando a unicidade, concluímos que
para todo
. Portanto
é linearmente independente.
Juntando:
gera
e é linearmente independente, logo
é uma base de
. Assim (a) vale.
Passo 5
Observações finais curtas e pedagógicas (úteis para a prova).
- O argumento não usou hipótese de
fina porque todas as somas tratadas são finitas; a noção de base/Hamel é exatamente compatível com isso em espaços infinitos. - A chave lógica é sempre a mesma: existência de representação = gerar; unicidade de representação = independência. No exame, vale lembrar de mencionar explicitamente que combinações lineares são somas finitas (para evitar confusão com somas infinitas ou convergência).
Resposta
As condições (a) e (b) são equivalentes:
é base de
se, e somente se, todo vetor de
se escreve de maneira única como combinação linear finita de elementos de
.