Considere a proposição a seguir.
Proposição 2.3.12. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K, \operatorname{com} \operatorname{dim} V=n \geq 1, e seja B \subset V. São equivalentes:
(a) B é uma base de V;
(b) Todo vetor de V se escreve de maneira única como combinação linear de elementos de B.
Prove essa proposição sem a hipótese de que \operatorname{dim} V seja finita.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte afirmação.
  • Dado: V é um espaço vetorial sobre um corpo K (não se assume \dim V finita) e B\subset V.
  • São consideradas duas afirmações sobre B:
    (a) B é uma base de V.
    (b) Todo vetor de V se escreve de maneira única como combinação linear de elementos de B.
O que se pede: provar que (a) e (b) são equivalentes, isto é, provar (a)\Rightarrow(b) e (b)\Rightarrow(a), sem usar hipótese de dimensão finita.

Passo 2

Primeiro, esclarecer definições que vamos usar (tudo com linguagem bem direta).
  • Por definição, dizer que B é uma base de V significa que:
    • B gera V (ou seja, \operatorname{span}(B)=V); e
    • B é linearmente independente.
  • Definição de combinação linear (ponto importante para espaços possivelmente infinitos): uma combinação linear de elementos de B é sempre uma soma finita
\sum_{i=1}^{m}\lambda_i b_i,
com m\in\mathbb{N}, b_i\in B e \lambda_i\in K. Não estamos permitindo somas infinitas — a noção de base aqui é a de base algébrica (Hamel), onde toda combinação linear tem suporte finito. É essencial lembrar isso para a equivalência em espaços infinitos.
  • Definição de independência linear: um subconjunto B é linearmente independente se, sempre que
\sum_{i=1}^{m}\lambda_i b_i = 0
com b_i\in B distintos e \lambda_i\in K, então \lambda_i=0 para todo i.
  • “Representação única” em (b) significa: para cada v\in V existe uma escrita v=\sum_{i=1}^{m}\lambda_i b_i com b_i\in B e essa escrita é única no sentido de que, se
v=\sum_{i=1}^{m}\lambda_i b_i=\sum_{j=1}^{n}\mu_j b'_j
com coeficientes em K e elementos de B, então as duas somas representam exatamente os mesmos termos com os mesmos coeficientes (podemos rearranjar e identificar termos iguais), e em particular cada coeficiente correspondente coincide.

Passo 3

Prova de (a)\Rightarrow(b).
Suponha que B é uma base de V. Então por definição:
  • Geração \\ Rightarrow existência: como \operatorname{span}(B)=V, para todo v\in V existe uma expressão finita
v=\sum_{i=1}^{m}\lambda_i b_i,
com b_i\in B e \lambda_i\in K. Isso prova a existência de representação.
  • Independência \Rightarrow unicidade: suponha que um mesmo v\in V tem duas representações finitas
v=\sum_{i=1}^{m}\lambda_i b_i=\sum_{j=1}^{n}\mu_j b'_j,
com b_i,b'_j\in B. Subtraindo lado a lado obtemos uma combinação linear finita igual a zero:
0=\sum_{i=1}^{m}\lambda_i b_i-\sum_{j=1}^{n}\mu_j b'_j.
Agrupando termos iguais (ou simplesmente considerando a união finita dos vetores usados) obtemos uma expressão da forma \sum_{k=1}^{r}\nu_k c_k=0 com c_k\in B distintos. Pela independência de B segue que todos os \nu_k são zero. Isso força que os coeficientes originais \lambda_i e \mu_j coincidam nas correspondências, ou seja, as duas representações são idênticas. Assim a representação é única.
Combinação das duas partes: para todo v\in V existe uma representação finita em termos de B e essa representação é única. Logo (b) vale.

Passo 4

Prova de (b)\Rightarrow(a).
Suponha que (b) seja verdade: todo vetor v\in V admite uma representação finita e essa representação é única.
  • Geração: a própria hipótese afirma existência de representação para todo v\in V. Logo \operatorname{span}(B)=V. Assim B gera V.
  • Independência: para testar independência, tome uma combinação linear finita que resulte no vetor zero:
\sum_{i=1}^{m}\lambda_i b_i = 0,
com b_i\in B distintos e \lambda_i\in K. Observe que a representação do vetor 0 dada pela hipótese (b) é única. Mas o vetor 0 tem certamente a representação trivial com todos coeficientes zero:
0 = \sum_{i=1}^{m}0\cdot b_i.
Comparando essa representação trivial com a representação acima e usando a unicidade, concluímos que \lambda_i=0 para todo i. Portanto B é linearmente independente.
Juntando: B gera V e é linearmente independente, logo B é uma base de V. Assim (a) vale.

Passo 5

Observações finais curtas e pedagógicas (úteis para a prova).
  • O argumento não usou hipótese de \dim V fina porque todas as somas tratadas são finitas; a noção de base/Hamel é exatamente compatível com isso em espaços infinitos.
  • A chave lógica é sempre a mesma: existência de representação = gerar; unicidade de representação = independência. No exame, vale lembrar de mencionar explicitamente que combinações lineares são somas finitas (para evitar confusão com somas infinitas ou convergência).

Resposta

As condições (a) e (b) são equivalentes: B é base de V se, e somente se, todo vetor de V se escreve de maneira única como combinação linear finita de elementos de B.

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