Seja
um espaço vetorial sobre
com
. Mostre que uma função
é linear se, e somente se, sua restrição a todo subespaço de dimensão 2 é linear.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte afirmação:
- Temos um espaço vetorial
sobre o corpo com . - Temos uma aplicação
(a priori apenas uma função, não se assume linearidade). - A hipótese que será usada na implicação não trivial é: a restrição de
a todo subespaço de dimensão é linear; isto é, para todo subespaço com a aplicação é linear (ou seja, para todos e ). - O que devemos provar:
é linear se, e somente se, cada restrição a todo subespaço de dimensão é linear. Ou seja, provar as duas implicações: - Se
é linear então é linear para todo de dimensão . - Se
é linear para todo de dimensão então é linear.
- Se
Passo 2
Lembrete (definição e o que precisamos checar): uma aplicação
é linear se, e somente se, valem para todos
e todo
:
Essas duas propriedades (aditividade e homogeneidade) equivalem à propriedade usual
para todos
e todos
. A estratégia será: mostrar a implicação fácil (linear
restrições lineares), e para a outra direção provar primeiro a homogeneidade (H) e depois a aditividade (A) usando a linearidade nas subespaços de dimensão
.
Passo 3
Implica\c{c}~ao direta (fácil): suponha que
é linear. Seja
um subespaço com
. A restrição
é simplesmente a aplicação
vista como definida em
; como
satisfaz a propriedade
para quaisquer
e
, em particular essa igualdade vale para todos
. Logo
é linear. Isso prova a direção óbvia.
Passo 4
Preparação para a implicação inversa: agora suponha que, para todo subespaço
de dimensão
, a restrição
é linear. Vamos provar que
é linear mostrando (H) e (A) para quaisquer
e
.
Observação útil sobre existência de subespaços de dimensão
: como
, para qualquer vetor não-nulo
existe algum vetor
tal que
e
são linearmente independentes; assim
é um subespaço de dimensão
. (Se
tratamos como caso separado e simples.)
Passo 5
Provar a homogeneidade (H): queremos mostrar que para todo
e todo
vale
.
-
Caso
. Então para todo , e em qualquer subespaço de dimensão que contenha (por exemplo, qualquer ) a restrição é linear; uma propriedade imediata de uma aplicação linear é , portanto . Logo a igualdade vale para . -
Caso
. Como (na realidade basta ), existe tal que não está em ; assim é um conjunto independente e tem dimensão . Pela hipótese, é linear. Note que e pode ser escrito como . Aplicando a linearidade de obtemos Portanto a homogeneidade vale para todoe todo . Juntando com o caso , concluímos que (H) vale para todos e todos .
Pequena explicação didática: o truque foi colocar
dentro de um subespaço de dimensão
onde sabemos que
já se comporta linearmente; escrever
como combinação de base do subespaço e aplicar a linearidade restrita.
Passo 6
Provar a aditividade (A): queremos
para quaisquer
.
-
Se
e são linearmente independentes, então tem dimensão . Pela hipótese é linear; portanto para esses temos diretamente -
Se
e são linearmente dependentes, então um é múltiplo do outro; sem perda de generalidade suponha para algum . Então Usando a homogeneidade já provada (Passo 5) obtemosonde na última igualdade usamos novamente a homogeneidade para ver. Se ou for esses argumentos continuam válidos (casos triviais).
Assim, para quaisquer
a aditividade (A) vale.
Passo 7
Conclusão final da implicação inversa: juntando (H) e (A) provadas nos passos anteriores, concluímos que, sob a hipótese de que
é linear para todo subespaço
de dimensão
, a aplicação
satisfaz homogeneidade e aditividade em todo
. Portanto
é linear.
Resumo da ideia-chave (didático e intuitivo): verificar linearidade em todo o espaço pode parecer exigir checar combinações de três ou mais vetores, mas qualquer combinação linear de até dois vetores vive num subespaço de dimensão
. Como homogeneidade trata de múltiplos de um só vetor (que também ficam em um subespaço de dimensão
), consegue-se deduzir as propriedades globais apenas a partir das restrições aos subespaços de dimensão
.
Resposta
A aplicação
é linear se, e somente se, para todo subespaço
com
a restrição
é linear.