Seja V um espaço vetorial sobre K com \operatorname{dim}_{K} V \geq 3. Mostre que uma função T: V \rightarrow V é linear se, e somente se, sua restrição a todo subespaço de dimensão 2 é linear.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte afirmação:
  • Temos um espaço vetorial V sobre o corpo K com \dim_{K}V\ge 3.
  • Temos uma aplicação T:V\to V (a priori apenas uma função, não se assume linearidade).
  • A hipótese que será usada na implicação não trivial é: a restrição de T a todo subespaço de dimensão 2 é linear; isto é, para todo subespaço W\subseteq V com \dim_{K}W=2 a aplicação T|_{W}:W\to Vé linear (ou seja, T|_{W}(\alpha x+\beta y)=\alpha T|_{W}(x)+\beta T|_{W}(y) para todos x,y\in W e \alpha,\beta\in K).
  • O que devemos provar: T é linear se, e somente se, cada restrição T|_{W} a todo subespaço W de dimensão 2 é linear. Ou seja, provar as duas implicações:
    1. Se T é linear então T|_{W} é linear para todo W de dimensão 2.
    2. Se T|_{W} é linear para todo W de dimensão 2 então T é linear.

Passo 2

Lembrete (definição e o que precisamos checar): uma aplicação T:V\to V é linear se, e somente se, valem para todos u,v\in V e todo \lambda\in K:
\text{(A)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v), \qquad \text{(H)}\quad T(\lambda v)=\lambda T(v).
Essas duas propriedades (aditividade e homogeneidade) equivalem à propriedade usual
T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)
para todos x,y\in V e todos \alpha,\beta\in K. A estratégia será: mostrar a implicação fácil (linear \Rightarrow restrições lineares), e para a outra direção provar primeiro a homogeneidade (H) e depois a aditividade (A) usando a linearidade nas subespaços de dimensão 2.

Passo 3

Implica\c{c}~ao direta (fácil): suponha que T é linear. Seja W\subseteq V um subespaço com \dim_K W=2. A restrição T|_W:W\to V é simplesmente a aplicação T vista como definida em W; como T satisfaz a propriedade
T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)
para quaisquer x,y\in V e \alpha,\beta\in K, em particular essa igualdade vale para todos x,y\in W. Logo T|_W é linear. Isso prova a direção óbvia.

Passo 4

Preparação para a implicação inversa: agora suponha que, para todo subespaço W de dimensão 2, a restrição T|_{W} é linear. Vamos provar que T é linear mostrando (H) e (A) para quaisquer u,v\in V e \lambda\in K.
Observação útil sobre existência de subespaços de dimensão 2: como \dim_K V\ge 3, para qualquer vetor não-nulo v\in V existe algum vetor w\in V tal que v e w são linearmente independentes; assim \operatorname{span}\{v,w\} é um subespaço de dimensão 2. (Se v=0 tratamos como caso separado e simples.)

Passo 5

Provar a homogeneidade (H): queremos mostrar que para todo v\in V e todo \lambda\in K vale T(\lambda v)=\lambda T(v).
  • Caso v=0. Então \lambda v=0 para todo \lambda, e em qualquer subespaço W de dimensão 2 que contenha 0 (por exemplo, qualquer W) a restrição T|_{W} é linear; uma propriedade imediata de uma aplicação linear é T|_{W}(0)=0, portanto T(0)=0=\lambda\cdot 0=\lambda T(0). Logo a igualdade vale para v=0.
  • Caso v\neq 0. Como \dim_K V\ge 3 (na realidade basta \dim_K V\ge 2), existe w\in V tal que w não está em \operatorname{span}\{v\}; assim \{v,w\} é um conjunto independente e W:=\operatorname{span}\{v,w\} tem dimensão 2. Pela hipótese, T|_{W} é linear. Note que \lambda v\in W e pode ser escrito como \lambda v+\;0\cdot w. Aplicando a linearidade de T|_{W} obtemos
    T(\lambda v)=T|_{W}(\lambda v+0\cdot w)=\lambda T|_{W}(v)+0\cdot T|_{W}(w)=\lambda T(v).
    Portanto a homogeneidade vale para todo v\neq 0 e todo \lambda. Juntando com o caso v=0, concluímos que (H) vale para todos v\in V e todos \lambda\in K.
Pequena explicação didática: o truque foi colocar \lambda v dentro de um subespaço de dimensão 2 onde sabemos que T já se comporta linearmente; escrever \lambda v como combinação de base do subespaço e aplicar a linearidade restrita.

Passo 6

Provar a aditividade (A): queremos T(u+v)=T(u)+T(v) para quaisquer u,v\in V.
  • Se u e v são linearmente independentes, então W:=\operatorname{span}\{u,v\} tem dimensão 2. Pela hipótese T|_{W} é linear; portanto para esses u,v temos diretamente
    T(u+v)=T|_{W}(u+v)=T|_{W}(u)+T|_{W}(v)=T(u)+T(v).
  • Se u e v são linearmente dependentes, então um é múltiplo do outro; sem perda de generalidade suponha v=\mu u para algum \mu\in K. Então
    u+v=u+\mu u=(1+\mu)u.
    Usando a homogeneidade já provada (Passo 5) obtemos
    T(u+v)=T((1+\mu)u)=(1+\mu)T(u)=T(u)+\mu T(u)=T(u)+T(v),
    onde na última igualdade usamos novamente a homogeneidade para ver T(v)=T(\mu u)=\mu T(u). Se u ou v for 0 esses argumentos continuam válidos (casos triviais).
Assim, para quaisquer u,v\in V a aditividade (A) vale.

Passo 7

Conclusão final da implicação inversa: juntando (H) e (A) provadas nos passos anteriores, concluímos que, sob a hipótese de que T|_{W} é linear para todo subespaço W de dimensão 2, a aplicação T satisfaz homogeneidade e aditividade em todo V. Portanto T é linear.
Resumo da ideia-chave (didático e intuitivo): verificar linearidade em todo o espaço pode parecer exigir checar combinações de três ou mais vetores, mas qualquer combinação linear de até dois vetores vive num subespaço de dimensão 2. Como homogeneidade trata de múltiplos de um só vetor (que também ficam em um subespaço de dimensão 2), consegue-se deduzir as propriedades globais apenas a partir das restrições aos subespaços de dimensão 2.

Resposta

A aplicação T é linear se, e somente se, para todo subespaço W\subseteq V com \dim_{K}W=2 a restrição T|_{W} é linear.

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