Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\\\ 0, & x=0\end{array}\right.. Mostre que f é contínua em x=0.
Para x\neq 0 vale f(x)=x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
Para x=0 vale f(0)=0.
A pergunta é: provar que \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=f(0), ou seja, provar continuidade em 0.]
Passo 2
Lembrando a definição precisa de continuidade num ponto (vamos mastigar isso): f é contínua em x=0 se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-0|<\delta, então |f(x)-f(0)|<\varepsilon.
Aqui:
\varepsilon>0 é a precisão que a prova precisa garantir (o “quão perto” queremos que f(x) esteja de f(0)).
\delta>0 é a tolerância em x (o “quão perto” x precisa estar de 0 para garantir isso).
Nosso objetivo é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, escolher um \delta que faça funcionar a implicação acima.
Passo 3
Calculemos a diferença que queremos controlar. Para x\neq 0,
Portanto, para todo x (inclusive x muito próximo de zero),
|f(x)-f(0)|\le |x|.
Explicando a ideia: o fator oscilatório \sin(1/x) fica entre -1 e 1, então a amplitude de f(x) é limitada por |x|. Quando x tende a zero, |x| tende a zero, então isso força f(x) também a tender a zero.
Passo 4
Agora faça o argumento \varepsilon-\delta. Seja dado um \varepsilon>0. Escolha
\delta=\varepsilon.
Se |x-0|<\delta então |x|<\delta=\varepsilon. Usando a desigualdade do passo anterior segue que
|f(x)-f(0)|\le |x|<\varepsilon.
Isto mostra exatamente que, para esse \delta, sempre que |x-0|<\delta temos |f(x)-f(0)|<\varepsilon. Portanto, pela definição, \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=f(0) e f é contínua em 0.
Passo 5
Comentário pedagógico e dica para a prova: uma forma rápida de ver esse tipo de problema é reconhecer que \sin(1/x) é limitada entre -1 e 1, então x\sin(1/x) tem módulo no máximo |x|. Assim a função é “domada” por |x|, que vai a zero. Isso é o mesmo princípio do Teorema do Aperto (squeeze theorem). Outra observação: para x\neq 0 a função é produto de funções contínuas (x e \sin(1/x)), logo é contínua em todos os pontos x\neq 0; o ponto crítico que precisa checar é justamente x=0, que já tratamos.
Força aí — essa classe de exercícios aparece muito na prova e essa técnica (usar |\sin|\le1 e um argumento \varepsilon-\delta simples) resolve rápido.