Verifique se as funções são contínuas no ponto indicado:
h(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-1, & x \neq 1 \\\\ 2, & x=1\end{array}\right. em x=1

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
h(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & x\neq 1,\\[4pt] 2, & x=1, \end{cases}
e pede para verificar se h é contínua em x=1.
Informações relevantes:
  • Para x\neq 1 a expressão da função é x^{2}-1.
  • O valor da função no ponto x=1 é h(1)=2.
  • A pergunta é apenas sobre a continuidade em x=1.]

Passo 2

O que significa ser contínua em x=1: por definição, h é contínua em x=1 se, e somente se,
\lim_{x\to 1} h(x)\\ \text{existe e}\\ \lim_{x\to 1} h(x)=h(1).
Explicando essa definição de modo bem prático:
  • Primeiro calcula-se o limite \lim_{x\to 1} h(x) (se ele existir).
  • Depois compara-se esse limite com o valor h(1) dado.
    Se o limite existir e for igual ao valor da função, a função é contínua ali; se não, não é contínua.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to 1} h(x). Como a definição de h para x\neq 1 é h(x)=x^{2}-1, temos
\lim_{x\to 1} h(x)=\lim_{x\to 1} (x^{2}-1).
Duas maneiras simples de ver esse limite (escolha a que preferir na prova):
  1. Usando que polinômios são contínuos: o polinômio x^{2}-1 é contínuo em todo número real, então
\lim_{x\to 1} (x^{2}-1)=1^{2}-1=0.
  1. Ou fatorando para ver diretamente:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Como \lim_{x\to 1}(x-1)=0 e \lim_{x\to 1}(x+1)=2, pelo produto de limites
\lim_{x\to 1}(x-1)(x+1)=0\cdot 2=0.
Em qualquer abordagem obtemos
\lim_{x\to 1} h(x)=0.

Passo 4

Comparar o limite com o valor da função em x=1. Do enunciado temos explicitamente
h(1)=2.
Como
\lim_{x\to 1} h(x)=0 \quad\text{e}\quad h(1)=2,
os dois números são diferentes. Pela definição de continuidade dada no Passo 2, isso significa que h NÃO é contínua em x=1.
Comentário didático e prático (útil para prova): esse é um caso clássico chamado de discontinuidade removível — o limite existe e é finito ( 0), mas a função foi definida com um valor diferente ( 2). Se alguém fizesse h(1):=0 em vez de 2, a função ficaria contínua em 1. Na prova, sempre execute duas etapas: (i) calcule o limite; (ii) compare com o valor da função no ponto.

Resposta

A função não é contínua em x=1. \lim_{x\to 1}h(x)=0 e h(1)=2, portanto há discontinuidade removível.

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