Seja H(t)=\left\{\begin{array}{l}0, \text { se } t<0 \\\\ 1, \text { se } t \geq 0\end{array}\right..
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \mathrm{H}(\mathrm{t})

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{t\to 0^{+}} H(t).
As informações dadas são: a função H é definida por
H(t)=\begin{cases} 0, & \text{se } t<0,\\[4pt] 1, & \text{se } t\ge 0. \end{cases}
Não é necessário outro dado — só essa definição por partes.]

Passo 2

Vamos entender claramente o que significa \displaystyle \lim_{t\to 0^{+}} H(t).
A notação \displaystyle \lim_{t\to 0^{+}} H(t)=L quer dizer: quando tomamos valores de t que são maiores que 0 (isto é, t>0) e que se aproximam cada vez mais de 0, os valores de H(t) se aproximam de algum número L. Em linguagem mais formal: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<t<\delta, então |H(t)-L|<\varepsilon. Aqui a ideia intuitiva basta: olhar o valor de H(t) para t positivos muito pequenos.

Passo 3

Agora aplicamos isso à definição de H. Para qualquer t com t>0 (por exemplo t=0{,}1,\;0{,}01,\;0{,}0001, etc.), a definição diz que H(t)=1, porque t\ge 0 implica H(t)=1. Portanto, todos os valores de H(t) para t>0 são exatamente 1, não apenas aproximam-se de 1. Um exemplo concreto: se tomarmos a sequência t_n=\tfrac{1}{n} com n\to\infty, então t_n\to 0^{+} e
H(t_n)=1\quad\text{para todo }n,
logo H(t_n)\to 1. Isso mostra que o valor-limite pela direita é 1.

Passo 4

Como para todos os t>0 (tanto quanto queiramos aproximar de 0) temos H(t)=1, a única possibilidade para a limite à direita é 1. Observação extra (útil na prova): \displaystyle H(0)=1 também por definição, então a função é contínua à direita em 0; porém o limite à esquerda \displaystyle \lim_{t\to 0^{-}} H(t)=0, então há uma descontinuidade de salto em 0.

Resposta

1

Exercícios relacionados