O que significa \lim_{t\to 0^-} H(t)=L? Vou dar duas formas equivalentes e intuitivas:
Definição via \varepsilon-\delta (adaptada para limite pela esquerda): \lim_{t\to 0^-} H(t)=L significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que t satisfizer -\delta<t<0 (ou seja, t está à esquerda de 0 e suficientemente perto), teremos |H(t)-L|<\varepsilon.
Definição via sequências: \lim_{t\to 0^-} H(t)=L se, para toda sequência (t_n) com t_n<0 e t_n\to 0, a sequência H(t_n) converge para L.
Essas duas formas são maneiras rigorosas de capturar a ideia “valores de H(t) quando t se aproxima de 0 vindo pela esquerda”.
Passo 3
Agora uso a informação fundamental do enunciado: para todo t<0 temos H(t)=0. Isso significa que, numa vizinhança à esquerda de zero (por exemplo o intervalo (-1,0), ou qualquer (-\delta,0)), a função toma constantemente o valor 0.
Vou aplicar as duas definições para concluir o limite.
Passo 3.1 — Pelo critério de sequências: tome qualquer sequência (t_n) com t_n<0 e t_n\to 0. Para todo n temos H(t_n)=0. Então a sequência H(t_n) é a sequência constante 0,0,0,\dots, que converge para 0. Como isso vale para toda sequência que se aproxima de 0 pela esquerda, a definição por sequências dá L=0.
Passo 3.2 — Pelo critério \varepsilon-\delta: proponho L=0. Seja um \varepsilon>0 qualquer. Escolha qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1). Se -\delta<t<0 então, por propriedade da função, H(t)=0. Logo
|H(t)-0|=|0|=0<\varepsilon.
Assim para esse \delta a condição é satisfeita, para todo \varepsilon>0. Isso prova que \lim_{t\to 0^-} H(t)=0.
Passo 4
Observação importante para a prova e para a hora da prova: o valor da função em t=0 é H(0)=1, diferente do limite à esquerda. Isso é totalmente possível: limites medem comportamento próximo a um ponto, não precisam coincidir com o valor da função no ponto. Portanto H tem descontinuidade do tipo salto em t=0.