Seja H(t)=\left\{\begin{array}{l}0, \text { se } t<0 \\\\ 1, \text { se } t \geq 0\end{array}\right..
\lim _{t \rightarrow 0^{-}} \mathrm{H}(\mathrm{t})

Passo 1

O enunciado dá a função degrau de Heaviside
H(t)=\begin{cases} 0, & \text{se } t<0,\\[4pt] 1, & \text{se } t\ge 0. \end{cases}
E pede para calcular o limite à esquerda em zero, isto é:
\lim_{t\to 0^-} H(t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{para todo } t<0 \text{ temos } H(t)=0;\qquad H(0)=1;\qquad \text{para } t>0,\\ H(t)=1.]

Passo 2

O que significa \lim_{t\to 0^-} H(t)=L? Vou dar duas formas equivalentes e intuitivas:
  1. Definição via \varepsilon- \delta (adaptada para limite pela esquerda): \lim_{t\to 0^-} H(t)=L significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que t satisfizer -\delta<t<0 (ou seja, t está à esquerda de 0 e suficientemente perto), teremos |H(t)-L|<\varepsilon.
  2. Definição via sequências: \lim_{t\to 0^-} H(t)=L se, para toda sequência (t_n) com t_n<0 e t_n\to 0, a sequência H(t_n) converge para L.
Essas duas formas são maneiras rigorosas de capturar a ideia “valores de H(t) quando t se aproxima de 0 vindo pela esquerda”.

Passo 3

Agora uso a informação fundamental do enunciado: para todo t<0 temos H(t)=0. Isso significa que, numa vizinhança à esquerda de zero (por exemplo o intervalo (-1,0), ou qualquer (-\delta,0)), a função toma constantemente o valor 0.
Vou aplicar as duas definições para concluir o limite.
Passo 3.1 — Pelo critério de sequências: tome qualquer sequência (t_n) com t_n<0 e t_n\to 0. Para todo n temos H(t_n)=0. Então a sequência H(t_n) é a sequência constante 0,0,0,\dots, que converge para 0. Como isso vale para toda sequência que se aproxima de 0 pela esquerda, a definição por sequências dá L=0.
Passo 3.2 — Pelo critério \varepsilon- \delta: proponho L=0. Seja um \varepsilon>0 qualquer. Escolha qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1). Se -\delta<t<0 então, por propriedade da função, H(t)=0. Logo
|H(t)-0|=|0|=0<\varepsilon.
Assim para esse \delta a condição é satisfeita, para todo \varepsilon>0. Isso prova que \lim_{t\to 0^-} H(t)=0.

Passo 4

Observação importante para a prova e para a hora da prova: o valor da função em t=0 é H(0)=1, diferente do limite à esquerda. Isso é totalmente possível: limites medem comportamento próximo a um ponto, não precisam coincidir com o valor da função no ponto. Portanto H tem descontinuidade do tipo salto em t=0.

Resposta

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