Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{4 x+9}-5}{\sqrt{x}-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{4x+9}-5}{\sqrt{x}-2}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{numerador}=\sqrt{4x+9}-5,\qquad \text{denominador}=\sqrt{x}-2.
Se fizermos substituição direta x=4 temos
\sqrt{4\cdot 4+9}-5= \sqrt{25}-5=5-5=0,
\sqrt{4}-2=2-2=0,
portanto a expressão toma a forma indeterminada \frac{0}{0}. A partir daqui precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Explico a técnica que vou usar: racionalização do numerador. Quando aparece diferença de raízes como \sqrt{a}-b que leva a 0 no numerador, é comum multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{a}+b. Isso usa a identidade de diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Aqui a=\sqrt{4x+9} e b=5. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{4x+9}+5 não altera o valor da expressão, mas facilita a simplificação.

Passo 3

Multiplicamos por \dfrac{\sqrt{4x+9}+5}{\sqrt{4x+9}+5}. Escrevendo o passo:
\frac{\sqrt{4x+9}-5}{\sqrt{x}-2} = \frac{\sqrt{4x+9}-5}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{\sqrt{4x+9}+5}{\sqrt{4x+9}+5} = \frac{(\sqrt{4x+9}-5)(\sqrt{4x+9}+5)}{(\sqrt{x}-2)\,(\sqrt{4x+9}+5)}.
Pelo produto conjugado, o numerador vira diferença de quadrados:
(\sqrt{4x+9})^2-5^2 = (4x+9)-25 = 4x-16.
Logo a expressão fica
\frac{4x-16}{(\sqrt{x}-2)\,(\sqrt{4x+9}+5)}.

Passo 4

Observe que 4x-16 fatoriza como 4(x-4). Então
\frac{4x-16}{(\sqrt{x}-2)\,(\sqrt{4x+9}+5)} = \frac{4(x-4)}{(\sqrt{x}-2)\,(\sqrt{4x+9}+5)}.
Agora use a identidade que relaciona x-4 com \sqrt{x}-2. Note que
x-4 = (\sqrt{x})^2-2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2).
Substituindo isso no numerador:
\frac{4(x-4)}{(\sqrt{x}-2)\,(\sqrt{4x+9}+5)} = \frac{4(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)\,(\sqrt{4x+9}+5)}.

Passo 5

Agora podemos cancelar o fator comum \sqrt{x}-2 (válido para x próximos de 4, exceto exatamente onde o denominador original seria zero; isso é permitido ao calcular limite):
\frac{4(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)\,(\sqrt{4x+9}+5)} = \frac{4(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{4x+9}+5}.
Esta expressão já não é indeterminada para x próximo de 4, e envolve funções contínuas (raízes e somas), então podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x=4.

Passo 6

Avaliaremos a expressão simplificada em x=4:
\frac{4(\sqrt{4}+2)}{\sqrt{4\cdot 4+9}+5} = \frac{4(2+2)}{\sqrt{25}+5} = \frac{4\cdot 4}{5+5} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}.
Como verificação rápida, \frac{8}{5}=1{,}6, que faz sentido numericamente.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{5}

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