Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
Se fizermos substituição direta
temos
portanto a expressão toma a forma indeterminada
. A partir daqui precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 2
Explico a técnica que vou usar: racionalização do numerador. Quando aparece diferença de raízes como
que leva a
no numerador, é comum multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
. Isso usa a identidade de diferença de quadrados:
Aqui
e
. Multiplicando numerador e denominador por
não altera o valor da expressão, mas facilita a simplificação.
Passo 3
Multiplicamos por
. Escrevendo o passo:
Pelo produto conjugado, o numerador vira diferença de quadrados:
Logo a expressão fica
Passo 4
Observe que
fatoriza como
. Então
Agora use a identidade que relaciona
com
. Note que
Substituindo isso no numerador:
Passo 5
Agora podemos cancelar o fator comum
(válido para
próximos de
, exceto exatamente onde o denominador original seria zero; isso é permitido ao calcular limite):
Esta expressão já não é indeterminada para
próximo de
, e envolve funções contínuas (raízes e somas), então podemos avaliar o limite simplesmente substituindo
.
Passo 6
Avaliaremos a expressão simplificada em
:
Como verificação rápida,
, que faz sentido numericamente.