Seja V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x \cdot y=0\right\} verifique se V com as operações usuais é um espaço vetorial sobre o corpo dos reais.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x\cdot y=0\}
e pede para verificar se V, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalares em \mathbb{R}^3, é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O universo é \mathbb{R}^3 com as operações usuais.
  • O conjunto V é formado por todos os vetores cujas coordenadas x e y satisfazem x\cdot y=0.
  • A pergunta é uma verificação: aceitar ou rejeitar que V seja espaço vetorial (ou seja, checar se satisfaz os axiomas necessários).

Passo 2

Relembrando (de forma direta e prática) o que é necessário para V ser um espaço vetorial sobre \mathbb{R}:
  • Um espaço vetorial porta um conjunto com duas operações (soma de vetores e multiplicação por escalares) que satisfaz um conjunto de axiomas. Entre esses axiomas, dois dos mais essenciais e fáceis de testar são:
    1. Fechamento sob soma: se u\in V e v\in V, então u+v\in V.
    2. Fechamento sob multiplicação por escalar: se u\in V e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in V.
  • Se qualquer um desses axiomas falhar, V não é um espaço vetorial. Portanto, para mostrar que V não é espaço vetorial basta encontrar um contraexemplo que viole pelo menos um axioma.
Explicando o porquê: fechar sob soma significa que a propriedade que define V (aqui x\cdot y=0) deve ser preservada quando somamos dois vetores de V. Se ao somar dois vetores de V obtemos um vetor que não satisfaz x\cdot y=0, então V falha na propriedade essencial de fechar sob adição e logo não pode ser um espaço vetorial.

Passo 3

Verificação rápida de que V não é vazio e contém o vetor zero (só para intuir o conjunto):
  • O vetor zero é (0,0,0). Como 0\cdot 0=0, tem-se (0,0,0)\in V.
    Isto mostra que pelo menos o conjunto é não-vazio, mas não garante que seja subespaço.

Passo 4

Construção do contraexemplo para fechamento sob soma (a ideia é escolher vetores simples que estão em V mas cuja soma não esteja):
  • Tome u=(1,0,0). Verificar que u\in V: x_u\cdot y_u = 1\cdot 0 = 0,logo u\in V.
  • Tome v=(0,1,0). Verificar que v\in V: x_v\cdot y_v = 0\cdot 1 = 0,logo v\in V.
  • Agora calcule a soma: u+v=(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0).Verifique se u+v\in V calculando o produto das primeiras duas coordenadas: x_{u+v}\cdot y_{u+v} = 1\cdot 1 = 1 \neq 0.Portanto (1,1,0)\notin V.

Passo 5

Interpretação do contraexemplo:
  • Encontrámos u,v\in V tais que u+v\notin V. Isso mostra que V NÃO é fechado sob soma.
  • Como fechamento sob soma é um dos axiomas necessários para um espaço vetorial, basta essa falha para concluir que V não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
  • (Comentário didático curto) Intuitivamente, V é a união de dois subconjuntos lineares: S_1=\{(0,y,z)\} e S_2=\{(x,0,z)\}. Cada um desses é um subespaço (fechado sob soma e escalares), mas a união S_1\cup S_2 geralmente não é subespaço — a soma de um vetor de S_1 com um de S_2 pode sair da união, como vimos no exemplo.

Passo 6

Conclusão lógica do processo de verificação:
  • Como um axioma fundamental (fechamento sob adição) falha, não é necessário verificar os demais axiomas. O conjunto V com as operações usuais não satisfaz todas as propriedades exigidas de um espaço vetorial.

Resposta

Não, V não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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