Seja
verifique se
com as operações usuais é um espaço vetorial sobre o corpo dos reais.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para verificar se
, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalares em
, é um espaço vetorial sobre o corpo
.
Informações relevantes fornecidas:
- O universo é
com as operações usuais. - O conjunto
é formado por todos os vetores cujas coordenadas e satisfazem . - A pergunta é uma verificação: aceitar ou rejeitar que
seja espaço vetorial (ou seja, checar se satisfaz os axiomas necessários).
Passo 2
Relembrando (de forma direta e prática) o que é necessário para
ser um espaço vetorial sobre
:
- Um espaço vetorial porta um conjunto com duas operações (soma de vetores e multiplicação por escalares) que satisfaz um conjunto de axiomas. Entre esses axiomas, dois dos mais essenciais e fáceis de testar são:
- Fechamento sob soma: se
e , então . - Fechamento sob multiplicação por escalar: se
e , então .
- Fechamento sob soma: se
- Se qualquer um desses axiomas falhar,
não é um espaço vetorial. Portanto, para mostrar que não é espaço vetorial basta encontrar um contraexemplo que viole pelo menos um axioma.
Explicando o porquê: fechar sob soma significa que a propriedade que define
(aqui
) deve ser preservada quando somamos dois vetores de
. Se ao somar dois vetores de
obtemos um vetor que não satisfaz
, então
falha na propriedade essencial de fechar sob adição e logo não pode ser um espaço vetorial.
Passo 3
Verificação rápida de que
não é vazio e contém o vetor zero (só para intuir o conjunto):
- O vetor zero é
. Como , tem-se .
Isto mostra que pelo menos o conjunto é não-vazio, mas não garante que seja subespaço.
Passo 4
Construção do contraexemplo para fechamento sob soma (a ideia é escolher vetores simples que estão em
mas cuja soma não esteja):
- Tome
. Verificar que : logo . - Tome
. Verificar que : logo . - Agora calcule a soma:
Verifique se calculando o produto das primeiras duas coordenadas: Portanto .
Passo 5
Interpretação do contraexemplo:
- Encontrámos
tais que . Isso mostra que NÃO é fechado sob soma. - Como fechamento sob soma é um dos axiomas necessários para um espaço vetorial, basta essa falha para concluir que
não é um espaço vetorial sobre . - (Comentário didático curto) Intuitivamente,
é a união de dois subconjuntos lineares: e . Cada um desses é um subespaço (fechado sob soma e escalares), mas a união geralmente não é subespaço — a soma de um vetor de com um de pode sair da união, como vimos no exemplo.
Passo 6
Conclusão lógica do processo de verificação:
- Como um axioma fundamental (fechamento sob adição) falha, não é necessário verificar os demais axiomas. O conjunto
com as operações usuais não satisfaz todas as propriedades exigidas de um espaço vetorial.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial sobre
.