Sejam \vec{f}_{1} =\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}, \vec{f}_{2} =2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}, \vec{f}_{3} =-\vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{3}
Dê exemplo de um vetor paralelo a \overrightarrow{\mathbf{f}}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores na base canônica \{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}:
\vec{f}_{1}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2},
\vec{f}_{2}=2\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2\vec{e}_{3},
\vec{f}_{3}=-\vec{e}_{1}+2\vec{e}_{3}.
A pergunta é: "Dê exemplo de um vetor paralelo a \overrightarrow{\mathbf{f}}_{2}". Ou seja, preciso fornecer um vetor que tenha a mesma direção (ou a direção oposta) de \vec{f}_2.

Passo 2

O que significa “vetor paralelo”? Vou explicar devagar: dois vetores \vec{v} e \vec{w} são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Em símbolos, existe um escalar \lambda tal que
\vec{v}=\lambda \vec{w}.
Aqui \lambda é um número real. Se \lambda>0 a direção é a mesma; se \lambda<0 a direção é oposta. Geralmente evita-se \lambda=0 quando se quer um vetor não nulo, porque o vetor nulo é considerado paralelo a qualquer vetor por convenção, mas não é tão informativo.

Passo 3

Vou identificar as componentes de \vec{f}_2 na base canônica. O enunciado já nos deu:
\vec{f}_2 = 2\vec{e}_1 - \vec{e}_2 + 2\vec{e}_3.
Em forma de componentes isso é o triplo (2,\,-1,\,2), isto é, coeficientes diante de \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3.

Passo 4

Para construir um vetor paralelo, escolho um escalar simples, por exemplo \lambda=2. Multiplico cada componente de \vec{f}_2 por \lambda:
\lambda \vec{f}_2 = 2\bigl(2\vec{e}_1 - \vec{e}_2 + 2\vec{e}_3\bigr) = 4\vec{e}_1 - 2\vec{e}_2 + 4\vec{e}_3.
Esse vetor é paralelo a \vec{f}_2 porque foi obtido multiplicando \vec{f}_2 por um escalar. (Se preferir outro exemplo, qualquer \lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0\} dá um vetor paralelo: \lambda(2,\,-1,\,2).)

Passo 5

Resumo rápido e incentivo: escolhi \lambda=2 por ser simples e mostrar o procedimento. Na prova, ao ver “dê um vetor paralelo a …” basta lembrar que é só multiplicar por um escalar qualquer — pegue \lambda=2 ou \lambda=-1 se quiser a direção oposta — e escreva o resultado componente a componente. Vai dar certo!

Resposta

\vec{v}=4\vec{e}_{1}-2\vec{e}_{2}+4\vec{e}_{3}

Exercícios relacionados