e pergunta se o conjunto (\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}) é uma base de V^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
Os vetores estão expressos em relação à base canônica (\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}).
A pergunta é binária: ou os vetores formam base (sim) ou não (não). Para confirmar que três vetores em um espaço de dimensão 3 formam base, precisamos verificar se são linearmente independentes (ou equivalentemente se geram todo o espaço).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando por que): uma maneira simples e direta é montar a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} na base canônica e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e, por terem três vetores em espaço de dimensão 3, formam uma base. Este método é prático para cálculos à mão em \mathbb{R}^{3}.
Interpretação do resultado: \det(A)=4\neq 0. Isso implica que as colunas de A (isto é, \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}) são linearmente independentes. Em um espaço vetorial de dimensão 3, qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes forma uma base. Portanto (\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}) é base de V^{3}.
Dica prática para a prova: monte sempre a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores na base canônica; se estiver em \mathbb{R}^{3} (ou V^{3}) basta checar se o determinante é diferente de zero. Se não puder calcular determinante, pode também fazer eliminação de Gauss e verificar se a matriz tem posto 3.