Sejam \vec{f}_{1} =\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}, \vec{f}_{2} =2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}, \vec{f}_{3} =-\vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{3}
\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) é base de V^{3} ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{f}_{1}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2},\qquad \vec{f}_{2}=2\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2\vec{e}_{3},\qquad \vec{f}_{3}=-\vec{e}_{1}+2\vec{e}_{3},
e pergunta se o conjunto (\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}) é uma base de V^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores estão expressos em relação à base canônica (\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}).
  • A pergunta é binária: ou os vetores formam base (sim) ou não (não). Para confirmar que três vetores em um espaço de dimensão 3 formam base, precisamos verificar se são linearmente independentes (ou equivalentemente se geram todo o espaço).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando por que): uma maneira simples e direta é montar a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} na base canônica e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e, por terem três vetores em espaço de dimensão 3, formam uma base. Este método é prático para cálculos à mão em \mathbb{R}^{3}.
Primeiro escrevemos as coordenadas dos vetores:
\vec{f}_{1} \mapsto \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad \vec{f}_{2} \mapsto \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix},\qquad \vec{f}_{3} \mapsto \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.
Formamos a matriz A com estas coordenadas como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Vou calcular o determinante de A. A fórmula para o determinante de uma matriz 3\times3
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
é
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aplicando aos elementos de A:
a_{11}=1,\;a_{12}=2,\;a_{13}=-1,
a_{21}=-1,\;a_{22}=-1,\;a_{23}=0,
a_{31}=0,\;a_{32}=2,\;a_{33}=2.
Agora calculamos termo a termo:
a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})=1\big((-1)\cdot 2 - 0\cdot 2\big)=1\cdot(-2)=-2,
-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})=-2\big((-1)\cdot 2 - 0\cdot 0\big)=-2\cdot(-2)=4,
a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=(-1)\big((-1)\cdot 2 - (-1)\cdot 0\big)=(-1)\cdot(-2)=2.
Somando:
\det(A) = -2 + 4 + 2 = 4.]

Passo 4

Interpretação do resultado: \det(A)=4\neq 0. Isso implica que as colunas de A (isto é, \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}) são linearmente independentes. Em um espaço vetorial de dimensão 3, qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes forma uma base. Portanto (\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}) é base de V^{3}.
Dica prática para a prova: monte sempre a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores na base canônica; se estiver em \mathbb{R}^{3} (ou V^{3}) basta checar se o determinante é diferente de zero. Se não puder calcular determinante, pode também fazer eliminação de Gauss e verificar se a matriz tem posto 3.

Resposta

Sim.

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