Seja
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}+2 y+1}<1\right\}. Verificar se os pontos
f) (3,4) são pontos de acumulação de A.

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Temos o conjunto
A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}+2y+1}<1\right\}.
A pergunta é: o ponto (3,4) é ponto de acumulação de A?\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i)}\quad A\text{ é definido por uma desigualdade envolvendo }\sqrt{x^{2}+y^{2}+2y+1}.é
\text{(ii)}\quad O ponto a testar é \((3,4)\).
Não vou resolver nada ainda; apenas deixei claro o pedido e os dados.

Passo 2

Simplificação algébrica da expressão dentro da raiz. Note que
x^{2}+y^{2}+2y+1 = x^{2}+(y+1)^{2}.
Logo a condição que define A fica
0<\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}<1.
Explicando: \sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} é exatamente a distância euclidiana do ponto (x,y) ao ponto (0,-1). Vou usar isso na interpretação geométrica a seguir.

Passo 3

Interpretação geométrica simples e útil. A desigualdade
0<\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}<1
significa: "a distância de (x,y) a (0,-1) é estritamente menor que 1 e estritamente maior que 0". Então A é o disco aberto de raio 1 centrado em (0,-1), com o centro excluído. Em palavras mais amigáveis: é o disco (todos os pontos com distância < 1 do centro) mas sem o próprio centro (0,-1). Portanto pontos com distância ao centro menor que 1 (exceto o próprio centro) estão em A; pontos com distância maior ou igual a 1 não estão em A.

Passo 4

Definição de ponto de acumulação (ô, a parte importante). Um ponto p\in\mathbb{R}^2 é ponto de acumulação de A se, para todo raio \varepsilon>0, a bola aberta centrada em p e de raio \varepsilon contém algum ponto de A diferente de p. Em fórmula:
p\text{ é ponto de acumulação de }A \iff \forall \varepsilon>0,\\ \big(B(p,\varepsilon)\setminus\{p\}\big)\cap A\neq\varnothing.éçã
Estratégia prática: mostrar que (3,4) NÃO é ponto de acumulação basta encontrar um raio \varepsilon>0 tal que B((3,4),\varepsilon) não intersecta A (ou seja, não existe ponto de A nessa bola).

Passo 5

Calcular a distância do ponto (3,4) ao centro (0,-1). Usando a fórmula da distância:
d:=\sqrt{(3-0)^{2}+(4-(-1))^{2}}=\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.
Note que \sqrt{34}>1 (aproximadamente 5{,}83). Isso significa que (3,4) está bem fora do disco de raio 1 centrado em (0,-1).

Passo 6

Construir um raio \varepsilon>0 cujo disco em torno de (3,4) não toca A. A ideia é usar a desigualdade triangular (a versão conveniente para distâncias): para quaisquer pontos u,v,w em \mathbb{R}^2,
\big|\|u-w\|-\|v-w\|\big|\le \|u-v\|.
Aqui \|p-q\| é a distância entre p e q. Vou aplicar com u=(3,4), v=(x,y) (um ponto qualquer) e w=(0,-1). Isso dá
\big|\| (x,y)-(0,-1)\| - \| (3,4)-(0,-1)\|\big| \le \| (x,y)-(3,4)\|.
Em símbolos:
\big|\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}-\sqrt{34}\big|\le \sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}}.
Agora escolha
\varepsilon := \sqrt{34}-1.
Observe que \varepsilon>0 porque \sqrt{34}>1. Se (x,y) satisfaz \sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}}<\varepsilon, então pela desigualdade acima
\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} > \sqrt{34}-\varepsilon = \sqrt{34}-(\sqrt{34}-1)=1.
Portanto qualquer ponto (x,y) dentro da bola B((3,4),\varepsilon) tem distância ao centro (0,-1) estritamente maior que 1. Mas isso implica que nenhum desses pontos pertence a A, pois A exige distância menor que 1. Assim
B((3,4),\varepsilon)\cap A=\varnothing.

Passo 7

Conclusão lógica. Encontramos um \varepsilon>0 tal que a vizinhança B((3,4),\varepsilon) não contém nenhum ponto de A. Pelo critério de acumulação isso mostra que (3,4) não é ponto de acumulação de A. (Respira — era só mostrar que estava longe do disco.)

Resposta

Não, (3,4) não é ponto de acumulação de A.

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