Representar graficamente os seguintes subconjuntos de \mathbb{R}^{2}. Identificar os conjuntos abertos.
a) A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}-4 x+y^{2}<0\right\}
b) B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}-4 x+y^{2} \geq 0\right\}
c) C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}| | y \mid<3\right\}
d) D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}| | x|+|y| \leq 1\right.\}
e) E=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \geq 2 y-3\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para cada subconjunto: (i) representar geometricamente em \mathbb{R}^2 o subconjunto dado e (ii) identificar se o conjunto é aberto. Os subconjuntos dados são:
a) A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}-4x+y^{2}<0\right\}.
b) B=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}-4x+y^{2}\ge 0\right\}.
c) C=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid |y|<3\right\}.
d) D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid |x|+|y|\le 1\right\}.
e) E=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 2y-3\right\}.
Vou desenvolver cada item passo a passo, explicando a geometria envolvida e porque o conjunto é (ou não é) aberto.

Passo 2

Começo pelos itens (a) e (b). Primeiro faço álgebra para entender a forma geométrica da expressão x^{2}-4x+y^{2}. Faço completar o quadrado para a parte em x:
x^{2}-4x+y^{2}=(x-2)^{2}+y^{2}-4.
Isto vem de: x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4. Portanto a desigualdade que define A fica
(x-2)^{2}+y^{2}-4<0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-2)^{2}+y^{2}<4.
Geometricamente, (x-2)^{2}+y^{2}<4 é a descrição de um disco (círculo preenchido, mas sem a fronteira) centrado em (2,0) com raio 2. Ou seja, todos os pontos cuja distância ao ponto (2,0) é menor que 2.
Para B usamos a mesma identidade:
x^{2}-4x+y^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-2)^{2}+y^{2}\ge 4.
Isto é o complemento do disco interior: são todos os pontos cuja distância até (2,0) é maior ou igual a 2. Geometricamente, é a região exterior ao círculo de raio 2 junto com a própria circunferência ( = exterior fechado).

Passo 3

Explico por que A é aberto e B é fechado (didaticamente):
  • Definição prática de aberto em \mathbb{R}^2: um conjunto U é aberto se para todo ponto (x_0,y_0)\in U existe um raio \varepsilon>0 tal que a bola aberta B_\varepsilon((x_0,y_0))=\{(x,y):\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\varepsilon\} está inteiramente contida em U.
  • Para A: tome um ponto (x_0,y_0) com (x_0-2)^2+y_0^2<4. A distância do ponto ao centro (2,0) é r_0=\sqrt{(x_0-2)^2+y_0^2}, e r_0<2. Então podemos escolher \varepsilon=2-r_0>0. Se (x,y) satisfaz \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\varepsilon então por desigualdade triangular a distância ao centro satisfaz \sqrt{(x-2)^2+y^2}\le r_0+\varepsilon=2, e com um argumento mais fino (ou simplesmente usar que a bola de raio \varepsilon permanece estritamente dentro do disco) fica \sqrt{(x-2)^2+y^2}<2. Logo existe \varepsilon>0 com B_\varepsilon((x_0,y_0))\subset A. Assim A é aberto.
  • Para B: observe que B é o complemento de A junto com a fronteira; mais formalmente, B=\{(x,y)\mid (x-2)^2+y^2\ge 4\} contém a circunferência (x-2)^2+y^2=4. O conjunto B é fechado porque é a pré-imagem por uma função contínua de um conjunto fechado: a função f(x,y)=(x-2)^2+y^2 é contínua e B=f^{-1}([4,\infty)), e [4,\infty) é fechado em \mathbb{R}. Portanto B é fechado. (Alternativamente, B é o complementar de A e o complementar de um aberto é fechado.)

Passo 4

Item (c): C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid |y|<3\}.
Interpretação geométrica: a condição |y|<3 significa -3<y<3. Isto descreve uma faixa (strip) horizontal infinita no plano, limitada pelas retas horizontais y=3 e y=-3, mas sem incluir essas retas. Geometricamente, é a região entre essas duas linhas, sem as linhas.
Prova de abertura: tome um ponto (x_0,y_0)\in C, então |y_0|<3. Defina \varepsilon=3-|y_0|>0. Se (x,y) satisfaz \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\varepsilon então |y-y_0|<\varepsilon e assim |y|\le |y_0|+|y-y_0|<|y_0|+\varepsilon=3. Logo qualquer bola suficientemente pequena em torno de (x_0,y_0) permanece dentro de C. Assim C é aberto.

Passo 5

Item (d): D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid |x|+|y|\le 1\}.
Geometria: a equação |x|+|y|=1 é um losango (um quadrado rotacionado de 45º) com vértices nos pontos (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1). A desigualdade \le 1 significa que D é o losango preenchido, incluindo a fronteira. Para visualizar, considere os quatro “quadrantes” e as expressões lineares:
  • Se x\ge 0,y\ge 0 então |x|+|y|=x+y e a fronteira é x+y=1 com x,y\ge0.
  • Se x\ge0,y\le0 então |x|+|y|=x-y e a fronteira é x-y=1 com condições sobre sinais, etc.
    As quatro retas formam o polígono convexo com os vértices indicados.
Propriedade de fechamento: D é fechado porque a função g(x,y)=|x|+|y| é contínua e D=g^{-1}((-\infty,1]), onde (-\infty,1] é fechado em \mathbb{R}. Também intuitivamente D inclui sua fronteira |x|+|y|=1, logo é fechado.

Passo 6

Item (e): E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 2y-3\}.
Reescrevendo a desigualdade:
x\ge 2y-3 \quad\Longleftrightarrow\quad x-2y+3\ge 0.
Podemos também isolar y:
2y\le x+3 \quad\Longleftrightarrow\quad y\le \frac{x+3}{2}.
A fronteira é a reta \{(x,y):y=(x+3)/2\}, que tem coeficiente angular 1/2 e intercepto 3/2. A região E é o semiplano que fica “abaixo ou sobre” essa reta (verificando com o ponto (0,0): 0\ge 2\cdot 0-3 é 0\ge -3, verdadeiro, logo a origem pertence a E, então é a região contendo a origem e limitada acima pela reta). Como a desigualdade é do tipo \ge e a função h(x,y)=x-2y+3 é contínua, temos E=h^{-1}([0,\infty)), pré-imagem de conjunto fechado, logo E é fechado. Também podemos ver diretamente que a reta de fronteira está incluída (igualdade) e o conjunto contém seus pontos de fronteira, portanto é fechado.

Passo 7

Resumo geométrico rápido para desenhar cada conjunto na folha e observações úteis:
  • (a) desenhar o círculo de centro (2,0) e raio 2; sombrear o interior sem riscar a circunferência.
  • (b) desenhar o mesmo círculo; sombrear a região exterior e riscar também a circunferência (incluir a fronteira).
  • (c) desenhar as retas horizontais y=3 e y=-3; sombrear a faixa entre elas sem incluir as retas.
  • (d) desenhar o losango com vértices (\pm1,0),(0,\pm1) e sombrear seu interior incluindo as arestas.
  • (e) desenhar a reta y=(x+3)/2; sombrear a região que contém a origem (abaixo da reta) e incluir a reta.

Resposta

a) A é o disco aberto \{(x,y)\mid (x-2)^{2}+y^{2}<4\} (disco de centro (2,0) e raio 2); aberto.
b) B é a região exterior mais a circunferência \{(x,y)\mid (x-2)^{2}+y^{2}\ge 4\}; fechado.
c) C é a faixa horizontal \{(x,y)\mid -3<y<3\} (entre as retas y=\pm3, sem as retas); aberto.
d) D é o losango fechado \{(x,y)\mid |x|+|y|\le 1\} com vértices (\pm1,0),(0,\pm1); fechado.
e) E é o semiplano fechado \{(x,y)\mid x\ge 2y-3\} (fronteira a reta x=2y-3); fechado.

Exercícios relacionados