Representar graficamente os seguintes subconjuntos de
. Identificar os conjuntos abertos.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para cada subconjunto: (i) representar geometricamente em
o subconjunto dado e (ii) identificar se o conjunto é aberto. Os subconjuntos dados são:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
a)
b)
c)
d)
e)
Vou desenvolver cada item passo a passo, explicando a geometria envolvida e porque o conjunto é (ou não é) aberto.
Passo 2
Começo pelos itens (a) e (b). Primeiro faço álgebra para entender a forma geométrica da expressão
. Faço completar o quadrado para a parte em
:
Isto vem de:
. Portanto a desigualdade que define
fica
Geometricamente,
é a descrição de um disco (círculo preenchido, mas sem a fronteira) centrado em
com raio
. Ou seja, todos os pontos cuja distância ao ponto
é menor que
.
Para
usamos a mesma identidade:
Isto é o complemento do disco interior: são todos os pontos cuja distância até
é maior ou igual a
. Geometricamente, é a região exterior ao círculo de raio
junto com a própria circunferência (
exterior fechado).
Passo 3
Explico por que
é aberto e
é fechado (didaticamente):
-
Definição prática de aberto em
: um conjunto é aberto se para todo ponto existe um raio tal que a bola aberta está inteiramente contida em . -
Para
: tome um ponto com . A distância do ponto ao centro é , e . Então podemos escolher . Se satisfaz então por desigualdade triangular a distância ao centro satisfaz , e com um argumento mais fino (ou simplesmente usar que a bola de raio permanece estritamente dentro do disco) fica . Logo existe com . Assim é aberto. -
Para
: observe que é o complemento de junto com a fronteira; mais formalmente, contém a circunferência . O conjunto é fechado porque é a pré-imagem por uma função contínua de um conjunto fechado: a função é contínua e , e é fechado em . Portanto é fechado. (Alternativamente, é o complementar de e o complementar de um aberto é fechado.)
Passo 4
Item (c):
.
Interpretação geométrica: a condição
significa
. Isto descreve uma faixa (strip) horizontal infinita no plano, limitada pelas retas horizontais
e
, mas sem incluir essas retas. Geometricamente, é a região entre essas duas linhas, sem as linhas.
Prova de abertura: tome um ponto
, então
. Defina
. Se
satisfaz
então
e assim
. Logo qualquer bola suficientemente pequena em torno de
permanece dentro de
. Assim
é aberto.
Passo 5
Item (d):
.
Geometria: a equação
é um losango (um quadrado rotacionado de 45º) com vértices nos pontos
. A desigualdade
significa que
é o losango preenchido, incluindo a fronteira. Para visualizar, considere os quatro “quadrantes” e as expressões lineares:
- Se
então e a fronteira é com . - Se
então e a fronteira é com condições sobre sinais, etc.
As quatro retas formam o polígono convexo com os vértices indicados.
Propriedade de fechamento:
é fechado porque a função
é contínua e
, onde
é fechado em
. Também intuitivamente
inclui sua fronteira
, logo é fechado.
Passo 6
Item (e):
.
Reescrevendo a desigualdade:
Podemos também isolar
:
A fronteira é a reta
, que tem coeficiente angular
e intercepto
. A região
é o semiplano que fica “abaixo ou sobre” essa reta (verificando com o ponto
:
é
, verdadeiro, logo a origem pertence a
, então é a região contendo a origem e limitada acima pela reta). Como a desigualdade é do tipo
e a função
é contínua, temos
, pré-imagem de conjunto fechado, logo
é fechado. Também podemos ver diretamente que a reta de fronteira está incluída (igualdade) e o conjunto contém seus pontos de fronteira, portanto é fechado.
Passo 7
Resumo geométrico rápido para desenhar cada conjunto na folha e observações úteis:
- (a) desenhar o círculo de centro
e raio ; sombrear o interior sem riscar a circunferência. - (b) desenhar o mesmo círculo; sombrear a região exterior e riscar também a circunferência (incluir a fronteira).
- (c) desenhar as retas horizontais
e ; sombrear a faixa entre elas sem incluir as retas. - (d) desenhar o losango com vértices
e sombrear seu interior incluindo as arestas. - (e) desenhar a reta
; sombrear a região que contém a origem (abaixo da reta) e incluir a reta.
Resposta
a)
é o disco aberto
(disco de centro
e raio
); aberto.
b)
é a região exterior mais a circunferência
; fechado.
c)
é a faixa horizontal
(entre as retas
, sem as retas); aberto.
d)
é o losango fechado
com vértices
; fechado.
e)
é o semiplano fechado
(fronteira a reta
); fechado.