( 1,5 \mathrm{pts}\) ) Prove que a função \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por
\[f(x)= \begin{cases}1, & \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ 0, & \text { se } x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\end{cases}
Não tem limite em ponto algum de (\mathbb{R}]
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por
\[f(x)=\begin{cases} 1, & \text{se } x\in\mathbb{Q},\\[4pt] 0, & \text{se } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \end{cases}
A pergunta é: provar que f\] não tem limite em nenhum ponto \(x_0\in\mathbb{R}.\n
Informações relevantes que temos: a função vale sempre 1 em pontos racionais e sempre 0 em pontos irracionais. Não há outras hipóteses; precisamos mostrar que para todo ponto x_0 qualquer tentativa de atribuir um limite leva a contradição.]
Passo 2
Vou explicar o critério que vou usar (muito útil e simples de aplicar aqui): critério sequencial para limite de função. Ele diz:
\text{A função }f\text{ tem limite }L\text{ em }x_0\text{ se, e somente se, para toda sequência }(x_n)\text{ com }x_n\to x_0\\ (x_n\neq x_0),
\text{temos }f(x_n)\to L.
Explicando com calma: isso significa que, se existe um número L tal que sempre que você aproximar x de x_0 (por qualquer sequência de pontos diferentes de x_0), os valores f(x) tendem para L, então L é o limite. E o recíproco também vale: se existe uma sequência que aproxima x_0 mas cujos valores f(x_n) não convergem para o mesmo L dos outros, então não existe limite. Esse critério é equivalente à definição \varepsilon-\delta, e é geralmente mais prático para construir contradições, porque basta encontrar duas sequências convergentes a x_0 cujas imagens por f convergem para valores diferentes.
Passo 3
Vamos usar uma propriedade básica dos números reais: os racionais e os irracionais são densos em \mathbb{R}. Isso significa que em qualquer intervalo aberto (a,b) existe pelo menos um racional e pelo menos um irracional. Na prática, isso nos permite construir, para qualquer x_0, sequências de números racionais que se aproximam de x_0 e sequências de irracionais que também se aproximam de x_0. Vou dar construções explícitas para as duas sequências (isso evita ficar em argumentos abstratos).
Passo 4
Construção de uma sequência de racionais (q_n) com q_n\to x_0.
Defina
q_n=\frac{\lfloor n x_0\rfloor}{n},
onde \lfloor t\rfloor é a parte inteira de t. Cada q_n é racional (é uma fração com inteiro no numerador e n no denominador). Mostremos que q_n\to x_0.
Observe que, por definição da parte inteira,
\lfloor n x_0\rfloor \le n x_0 < \lfloor n x_0\rfloor + 1.
Dividindo por n,
\frac{\lfloor n x_0\rfloor}{n} \le x_0 < \frac{\lfloor n x_0\rfloor}{n} + \frac{1}{n}.
Isto é,
0 \le x_0 - q_n < \frac{1}{n},
logo |q_n-x_0|<\frac{1}{n}. Portanto |q_n-x_0|\to 0, ou seja, q_n\to x_0. Além disso, para todo n temos q_n\in\mathbb{Q}, então f(q_n)=1 para todo n.
Passo 5
Construção de uma sequência de irracionais (s_n) com s_n\to x_0.
Use a sequência racional q_n definida antes e defina
s_n = q_n + \frac{\sqrt{2}}{2n}.
Primeiro, s_n é irracional para todo n: a razão é simples — q_n é racional e \frac{\sqrt{2}}{2n} é irracional (multiplicação de um irracional \sqrt{2} por um racional não nulo dá irracional). A soma de um racional com um irracional é irracional (se a soma fosse racional, subtraindo o racional obtemos que o irracional seria racional, contradição). Portanto s_n\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} e assim f(s_n)=0 para todo n.
Agora verifiquemos que s_n\to x_0. Pelo triângulo,
O lado direito tende a 0 quando n\to\infty. Portanto s_n\to x_0. Assim construímos uma sequência de irracionais que converge a x_0.
Passo 6
Aplicando o critério sequencial para o limite: suponha, por contradição, que f tivesse limite em algum ponto x_0; digamos \lim_{x\to x_0} f(x)=L para algum L\in\mathbb{R}.
Pelo critério sequencial, qualquer sequência x_n\to x_0 deve satisfazer f(x_n)\to L. Mas pegamos as duas sequências construídas:
Para q_n (racionais), q_n\to x_0 e f(q_n)=1 para todo n. Então a sequência f(q_n) converge para 1. Assim seria necessário que L=1.
Para s_n (irracionais), s_n\to x_0 e f(s_n)=0 para todo n. Então a sequência f(s_n) converge para 0. Assim seria necessário que L=0.
Obtemos a contradição L=1 e L=0 ao mesmo tempo. Logo não existe tal L. Portanto f não tem limite em x_0.
Passo 7
Como x_0 foi um ponto arbitrário de \mathbb{R}, o argumento vale para qualquer ponto. Concluímos que f não tem limite em nenhum ponto de \mathbb{R}.
Resposta
A função f não tem limite em nenhum ponto de \mathbb{R}.