Seja E=\left\{\left.(-1)^{n}+\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}. Determine \sup E e \inf E.

Passo 1

O enunciado define
E = \left\{(-1)^{n} + \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\}.
Precisamos encontrar \sup E e \inf E. Note que (-1)^n oscila entre 1 e -1, então é natural separar os casos em que n é par ou ímpar.

Passo 2

Para n = 2k com k\in\mathbb{N},
a_k = (-1)^{2k} + \frac{1}{2k} = 1 + \frac{1}{2k}.
Como \frac1{2k} decresce quando k cresce, a sequência (a_k) é decrescente e converge para 1. O maior valor ocorre em k=1 (isto é, n=2), valendo
a_1 = 1 + \frac12 = \frac32.
Logo, não existe termo maior em E, e \sup E = \tfrac32.

Passo 3

Para n = 2k-1 com k\in\mathbb{N},
b_k = (-1)^{2k-1} + \frac{1}{2k-1} = -1 + \frac{1}{2k-1}.
Aqui \frac1{2k-1} também decresce em k, então (b_k) é decrescente e converge para -1. Como -1 + \tfrac1{2k-1} > -1 para todo k, não há mínimo, mas a menor aproximação de -1 é arbitrariamente próxima. Assim \inf E = -1.

Passo 4

Concluindo, a parte par da sequência atinge o maior valor \tfrac32 em n=2, e a parte ímpar se aproxima de -1 sem alcançá-lo, definindo a ínfima de E.

Resposta

\sup E = \tfrac32 \inf E = -1

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