Considere a sequência
\left(x_{n}\right)=\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{5}, \ldots\right)
a) Determine três subsequências de \left(x_{n}\right).
b) Determine três subsequências convergentes de \left(x_{n}\right).
c) Para quais \beta \in \mathbb{R} existe subsequência convergindo para \beta ?

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
\bigl(x_n\bigr) = \bigl(1/2,\;2/3,\;1/3,\;2/4,\;3/4,\;1/4,\;2/5,\;3/5,\;4/5,\;1/5,\dots\bigr)
que, ao examinar os blocos de denominador m\ge2, contém os termos
\frac{2}{m},\frac{3}{m},\dots,\frac{m-1}{m},\frac{1}{m}.
Precisaremos extrair subsequências escolhendo termos em cada bloco, analisar seus limites e depois usar a ideia de densidade dos racionais em [0,1].

Passo 2

Uma primeira subsequência é a dos últimos termos de cada bloco, ou seja,
x_{n_k} = \frac{1}{k},\quad k=2,3,4,\dots
Isso corresponde aos termos \tfrac1{2},\tfrac1{3},\tfrac1{4},\dots.

Passo 3

Uma segunda subsequência é a dos primeiros termos de cada bloco (exceto o bloco m=2 que só tem \tfrac12), ou seja,
x_{m_\ell} = \frac{2}{\ell},\quad \ell=3,4,5,\dots
Isso corresponde aos termos \tfrac{2}{3},\tfrac{2}{4},\tfrac{2}{5},\dots.

Passo 4

Uma terceira subsequência natural é a dos penúltimos termos de cada bloco, ou seja,
x_{p_j} = \frac{j-1}{j},\quad j=2,3,4,\dots
que são \tfrac{1}{2},\tfrac{2}{3},\tfrac{3}{4},\tfrac{4}{5},\dots.

Passo 5

Agora, verificamos convergência dessas três subsequências:
  1. Para x_{n_k}=\tfrac1k temos
\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k}=0.
  1. Para x_{m_\ell}=\tfrac{2}{\ell} temos
\lim_{\ell\to\infty}\frac{2}{\ell}=0.
  1. Para x_{p_j}=\tfrac{j-1}{j} usamos
\frac{j-1}{j}=1-\frac1j \quad\Longrightarrow\quad \lim_{j\to\infty}\Bigl(1-\frac1j\Bigr)=1.

Passo 6

Para determinar todos os \beta\in\mathbb{R} que são limites de alguma subsequência, notamos que a sequência enumera todos os racionais no intervalo (0,1). Como os racionais em (0,1) são densos em [0,1], para todo \beta\in[0,1]
podemos escolher uma sequência de racionais \tfrac{a_k}{b_k} no enunciado tal que \tfrac{a_k}{b_k}\to\beta.
Em particular:
  • Se \beta=0 usamos \tfrac1k\to0.
  • Se \beta=1 usamos \tfrac{k-1}{k}\to1.
  • Se \beta\in(0,1) irracional, escolhemos inteiros a_k,b_k grandes com \bigl|a_k/b_k-\beta\bigr|<1/b_k.
Logo todo \beta\in[0,1] é limite de alguma subsequência, e não existe subsequência convergente para \beta\notin[0,1] porque todos x_n\in(0,1).

Resposta

a) Três subsequências quaisquer são, por exemplo, \bigl(x_{n_k}\bigr)=(1/k), \bigl(x_{m_\ell}\bigr)=(2/\ell) e \bigl(x_{p_j}\bigr)=((j-1)/j).
b) Dessas, duas convergem para 0 e uma para 1.
c) Exatamente para \beta\in[0,1].

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