a) Determine três subsequências de \left(x_{n}\right).
b) Determine três subsequências convergentes de \left(x_{n}\right).
c) Para quais \beta \in \mathbb{R} existe subsequência convergindo para \beta ?
Para determinar todos os \beta\in\mathbb{R} que são limites de alguma subsequência, notamos que a sequência enumera todos os racionais no intervalo (0,1). Como os racionais em (0,1) são densos em [0,1], para todo \beta\in[0,1]
podemos escolher uma sequência de racionais \tfrac{a_k}{b_k} no enunciado tal que \tfrac{a_k}{b_k}\to\beta.
Em particular:
Se \beta=0 usamos \tfrac1k\to0.
Se \beta=1 usamos \tfrac{k-1}{k}\to1.
Se \beta\in(0,1) irracional, escolhemos inteiros a_k,b_k grandes com \bigl|a_k/b_k-\beta\bigr|<1/b_k.
Logo todo \beta\in[0,1] é limite de alguma subsequência, e não existe subsequência convergente para \beta\notin[0,1] porque todos x_n\in(0,1).
Resposta
a) Três subsequências quaisquer são, por exemplo, \bigl(x_{n_k}\bigr)=(1/k), \bigl(x_{m_\ell}\bigr)=(2/\ell) e \bigl(x_{p_j}\bigr)=((j-1)/j).
b) Dessas, duas convergem para 0 e uma para 1.
c) Exatamente para \beta\in[0,1].