1. Seja \left\{a_{n}\right\} a sequência definida recursivamente por a_{1}=1 \mathrm{e} a_{n+1}=\frac{1}{2}\left[a_{n}+\left(3 / a_{n}\right)\right] \operatorname{com} n \geq 1.
    (a) Mostre que a_{n} \geq \sqrt{3} \operatorname{com} n \geq 2. [Sugestão: Qual é o valor mínimo de \frac{1}{2}[x+(3 / x)] \operatorname{com} x>0 ?]
    (b) Mostre que \left\{a_{n}\right\} é decrescente a partir de um certo termo [Sugestão: Examine a_{n+1}-a_{n} ou a_{n+1} / a_{n} e use o resultado da parte (a).]
    (c) Mostre que \left\{a_{n}\right\} converge e encontre seu limite L.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\} por
a_1 = 1,\quad a_{n+1} = \frac12\Bigl(a_n + \frac{3}{a_n}\Bigr),
e pede:
(a) mostrar que a_n\ge\sqrt{3} para n\ge2,
(b) provar que \{a_n\} é decrescente a partir de certo n,
(c) concluir que \{a_n\} converge e encontrar seu limite.
O conteúdo envolve achar o mínimo da função f(x)=\tfrac12[x+3/x], usar monotonicidade e limite de sequência monótona e limitada.

Passo 2

(a) Considere a função
f(x)=\frac12\Bigl(x+\frac{3}{x}\Bigr)\quad(x>0).
Derivando,
f'(x)=\frac12\Bigl(1 - \frac{3}{x^2}\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\;x^2=3\;\Longrightarrow\;x=\sqrt{3}.
Como f''(\sqrt{3})>0, esse ponto é mínimo e
f(x)\ge f(\sqrt{3})=\frac12\Bigl(\sqrt{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}\Bigr) =\sqrt{3}.
Logo, a_2=f(a_1)=f(1)=2\ge\sqrt{3}. E se a_n\ge\sqrt{3}, então
a_{n+1}=f(a_n)\ge\sqrt{3}.
Por indução, a_n\ge\sqrt{3} para todo n\ge2.

Passo 3

(b) Calcule
a_{n+1}-a_n =\frac12\Bigl(a_n+\frac{3}{a_n}\Bigr)-a_n =\frac{3/a_n - a_n}{2}.
Para n\ge2, já temos a_n\ge\sqrt{3}, então a_n^2\ge3 e 3/a_n\le a_n. Daí
a_{n+1}-a_n=\frac{3/a_n - a_n}{2}\le0,
isto é, \{a_n\} é decrescente a partir de n=2.

Passo 4

(c) Como para n\ge2 a sequência é decrescente e continua acima de \sqrt{3}, ela é monótona decrescente e limitada inferiormente, logo converge. Seja
L=\lim_{n\to\infty}a_n.
Passando ao limite na relação de recorrência,
L=\frac12\Bigl(L+\frac{3}{L}\Bigr) \;\Longrightarrow\;2L=L+\frac{3}{L} \;\Longrightarrow\;L^2=3.
Como a_n>0, escolhemos L=\sqrt{3}.

Resposta

(a) Para todo n\ge2, a_n\ge\sqrt{3}.
(b) A partir de n=2, \{a_n\} é decrescente.
(c) A sequência converge e seu limite é L=\sqrt{3}.

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