- Seja
a sequência definida recursivamente por
.
(a) Mostre que
. [Sugestão: Qual é o valor mínimo de
?]
(b) Mostre que
é decrescente a partir de um certo termo [Sugestão: Examine
ou
e use o resultado da parte (a).]
(c) Mostre que
converge e encontre seu limite
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede:
(a) mostrar que para
,
(b) provar que é decrescente a partir de certo
,
(c) concluir que converge e encontrar seu limite.
O conteúdo envolve achar o mínimo da função , usar monotonicidade e limite de sequência monótona e limitada.
(a) mostrar que
(b) provar que
(c) concluir que
O conteúdo envolve achar o mínimo da função
Passo 2
(a) Considere a função
Derivando,
Como
, esse ponto é mínimo e
Logo,
. E se
, então
Por indução,
para todo
.
Passo 3
(b) Calcule
Para
, já temos
, então
e
. Daí
isto é,
é decrescente a partir de
.
Passo 4
(c) Como para
a sequência é decrescente e continua acima de
, ela é monótona decrescente e limitada inferiormente, logo converge. Seja
Passando ao limite na relação de recorrência,
Como
, escolhemos
.
Resposta
(a) Para todo
,
.
(b) A partir de ,
é decrescente.
(c) A sequência converge e seu limite é
(b) A partir de
(c) A sequência converge e seu limite é