1. Uma série infinita converge se a sequência de seus termos convergir.

Passo 1

O enunciado afirma que “uma série infinita converge se a sequência de seus termos converge”. Aqui o conteúdo é convergência de séries numéricas, e precisamos avaliar se a condição \lim_{n\to\infty}a_n existir é suficiente para garantir que \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n convirja.

Passo 2

Recordando a definição: a série \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n
converge se a sequência dos somatórios parciais \displaystyle S_N = \sum_{n=1}^N a_n
tem limite finito quando N\to\infty. Um teorema básico diz que, para qualquer série convergente, seus termos devem satisfazer \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.
Isso mostra que a convergência de (a_n) é condição necessária.

Passo 3

Porém, a condição \lim_{n\to\infty}a_n=0 não é suficiente para que \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n
converja. Um contraexemplo clássico é a série harmônica:
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\,,
cujo termo geral \tfrac1n satisfaz \lim_{n\to\infty}\tfrac1n=0, mas a série diverge.

Resposta

Falsa.

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