Seja \left\{a_{n}\right\} uma sequência com \lim a_{n}=L>0. Use o teorema do confronto para mostrar que \lim \sqrt[n]{a_{n}}=1.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência \{a_{n}\} tal que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=L>0
e pede para mostrar que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=1.
Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto (ou “Squeeze Theorem”) e o fato de que, para qualquer constante c>0, vale \lim_{n\to\infty}c^{1/n}=1.

Passo 2

Como \lim_{n\to\infty}a_{n}=L>0, pela definição de limite existe N tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_{n}-L\bigr|<\frac{L}{2}.
Isso implica
L-\frac{L}{2}<a_{n}<L+\frac{L}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{L}{2}\le a_{n}\le \frac{3L}{2}.

Passo 3

Aplicando a raiz n-ésima aos três termos da desigualdade para n\ge N, obtemos
\biggl(\frac{L}{2}\biggr)^{\!1/n}\;\le\;\sqrt[n]{a_{n}}\;\le\;\biggl(\frac{3L}{2}\biggr)^{\!1/n}.

Passo 4

Agora usamos o resultado clássico: para qualquer constante c>0,
\lim_{n\to\infty}c^{1/n} =\lim_{n\to\infty}e^{(\ln c)/n} =e^{0} =1.
Em particular,
\lim_{n\to\infty}\bigl(L/2\bigr)^{\!1/n}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\bigl(3L/2\bigr)^{\!1/n}=1.

Passo 5

Pela desigualdade do Passo 3 e o Teorema do Confronto, segue que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=1.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=1.

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