Seja ( a_{n} ) uma sequência e suponha que exista k \in \mathbb{R}, com 0<k<1 tal que para todo n \in \mathbb{N}\left|a_{n+1}\right| \leq k\left|a_{n}\right|. Mostre que ( a_{n} ) converge para zero.
Passo 1
O enunciado diz que (a_n) é uma sequência real (ou complexa) tal que existe k\in\mathbb{R} com 0<k<1 e
\left|a_{n+1}\right|\le k\,\left|a_n\right|
para todo n\in\mathbb{N}. Queremos mostrar que a_n\to0. Vamos usar indução para obter uma desigualdade de tipo geométrico e depois usar o fato de que k^n\to0.