Usando o fato de que n^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 e \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e calcule:
\lim \sqrt[n]{2 n}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2n}
O conteúdo é limites de sequências envolvendo raízes enésimas e expoentes. Vamos usar que \lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1 e também que, para qualquer constante a>0, \lim_{n\to\infty}a^{1/n}=1.

Passo 2

Reescrevemos a sequência usando propriedades de potências:
\sqrt[n]{2n} = (2n)^{1/n} = 2^{1/n}\,\cdot\,n^{1/n}.

Passo 3

Analisamos o primeiro fator. Como
2^{1/n} = e^{\frac{\ln(2)}{n}}
e \frac{\ln(2)}{n}\to0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}2^{1/n} = e^0 = 1.

Passo 4

Pelo fato dado no enunciado,
\lim_{n\to\infty}n^{1/n} = 1.

Passo 5

Como o limite de produto é o produto dos limites, concluímos
\lim_{n\to\infty}(2n)^{1/n} = \lim_{n\to\infty}2^{1/n} \,\cdot\,\lim_{n\to\infty}n^{1/n} = 1\cdot1 = 1.

Resposta

1

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