Seja
a) F é um campo conservativo no
? Por quê?
b) Seja
a curva obtida como interseção da superfície de equação
com o plano
. Calcule
.dr, sendo C orientada de tal forma que a orientação de sua projeção no plano xy é percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.
b) Seja
Passo 1
O enunciado traz o campo
e pergunta:
a) é conservativo em
?
b) Calcular , onde
é a curva de interseção da superfície
a)
b) Calcular
com o plano
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida no sentido anti-horário visto de cima.
Para responder (a) vamos usar o critério de conservatividade em domínios simplesmente conectos: verificar se
. Se for zero em todo
, então
é conservativo. A partir daí, para (b) como
é curva fechada, a integral de linha de um campo conservativo em torno de
é zero.
Passo 2
Calculamos o rotacional
. Lembrando que
Aqui
Logo
Passo 3
Como
em todo
e
é simplesmente conexo, concluímos que
é um campo conservativo. Portanto existe potencial
com
, e toda integral de linha fechada de
vale zero:
Resposta
a) Sim. Porque
em
e o domínio é simplesmente conexo, logo
é conservativo.
b) .
b)