Seja
F(x, y, z)=\left(y^{3}+\operatorname{sen}(x), 3 x y^{2}-\frac{y}{1+y^{2}}+z, y\right)
a) F é um campo conservativo no \mathbb{R}^{3} ? Por quê?
b) Seja C a curva obtida como interseção da superfície de equação y=z^{2}+x^{2}-4, y \leq 1 com o plano z=2. Calcule \int_{\mathrm{C}} \mathrm{F}.dr, sendo C orientada de tal forma que a orientação de sua projeção no plano xy é percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado traz o campo
F(x,y,z)=\bigl(P,Q,R\bigr)=\Bigl(y^{3}+\operatorname{sen}(x),\;3xy^{2}-\frac{y}{1+y^{2}}+z,\;y\Bigr)
e pergunta:
a) F é conservativo em \mathbb{R}^3?
b) Calcular \displaystyle\oint_C F\cdot\mathrm{d}r, onde C é a curva de interseção da superfície
y=z^{2}+x^{2}-4,\quad y\le1
com o plano z=2, orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário visto de cima.
Para responder (a) vamos usar o critério de conservatividade em domínios simplesmente conectos: verificar se \nabla\times F=0. Se for zero em todo \mathbb{R}^3, então F é conservativo. A partir daí, para (b) como C é curva fechada, a integral de linha de um campo conservativo em torno de C é zero.

Passo 2

Calculamos o rotacional \nabla\times F. Lembrando que
\nabla\times F =\Bigl(\tfrac{\partial R}{\partial y}-\tfrac{\partial Q}{\partial z},\; \tfrac{\partial P}{\partial z}-\tfrac{\partial R}{\partial x},\; \tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Aqui
\tfrac{\partial R}{\partial y} =\tfrac{\partial }{\partial y}(y)=1, \quad \tfrac{\partial Q}{\partial z} =\tfrac{\partial }{\partial z}\Bigl(3xy^{2}-\tfrac{y}{1+y^{2}}+z\Bigr)=1,
\tfrac{\partial P}{\partial z} =\tfrac{\partial }{\partial z}\bigl(y^{3}+\operatorname{sen}(x)\bigr)=0, \quad \tfrac{\partial R}{\partial x} =\tfrac{\partial }{\partial x}(y)=0,
\tfrac{\partial Q}{\partial x} =\tfrac{\partial }{\partial x}\Bigl(3xy^{2}-\tfrac{y}{1+y^{2}}+z\Bigr)=3y^{2}, \quad \tfrac{\partial P}{\partial y} =\tfrac{\partial }{\partial y}\bigl(y^{3}+\operatorname{sen}(x)\bigr)=3y^{2}.
Logo
\nabla\times F =\bigl(1-1,\;0-0,\;3y^{2}-3y^{2}\bigr) =(0,0,0).

Passo 3

Como \nabla\times F=0 em todo \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{3} é simplesmente conexo, concluímos que F é um campo conservativo. Portanto existe potencial f com \nabla f=F, e toda integral de linha fechada de F vale zero:
\oint_{C}F\cdot\mathrm{d}r=0.

Resposta

a) Sim. Porque \nabla\times F=0 em \mathbb{R}^3 e o domínio é simplesmente conexo, logo F é conservativo.
b) \displaystyle\oint_{C}F\cdot\mathrm{d}r=0.

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