2 x^{\wedge} 2 y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+y=2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler não homogênea
2x^2y'' +5xy' +y = 2x.
Para isso, vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada usando o ansatz y = x^m, e depois determinar uma solução particular por coeficientes a ajustar.

Passo 2

Analisando a homogênea
2x^2y'' +5xy' +y = 0
e substituindo y = x^m, temos y' = m x^{m-1} e y'' = m(m-1)x^{m-2}. Logo a equação característica é
2\,m(m-1) + 5\,m + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2m^2 +3m +1 = 0.

Passo 3

Resolvendo
2m^2 +3m +1 = 0
vem
m = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{-3 \pm 1}{4},
isto é m_1 = -\tfrac12 e m_2 = -1. Portanto a solução da homogênea é
y_h = C_1\,x^{-1/2} + C_2\,x^{-1}.

Passo 4

Para a solução particular, como o termo forçante é 2x, tentamos
y_p = A x + B,
em que y_p' = A e y_p''=0. Substituindo em
2x^2\cdot0 +5x\cdot A + (A x + B) = 2x
obtém-se
6A\,x + B = 2x,
logo 6A = 2 e B = 0, de onde
A = \tfrac13,\quad B = 0 \quad\Longrightarrow\quad y_p = \tfrac{1}{3}\,x.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma de y_h com y_p.

Resposta

y = C_1\,x^{-1/2} + C_2\,x^{-1} + \tfrac{1}{3}\,x.

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