(a) Mostre que:
(i) \cos 2 x=2 \cos ^{2} x-1 \quad e \quad \cos 2 x=1-2 \operatorname{sen}^{2} x
(ii) \cos x=2 \cos ^{2}(x / 2)-1 \quad e \quad \cos x=1-2 \operatorname{sen}^{2}(x / 2)
(iii) \operatorname{tg}(x / 2)= \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}
(b) Calcule:
(i) \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{12}\right)
(ii) \cos \left(\frac{\pi}{24}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas tarefas. Na parte (a) temos que mostrar três famílias de identidades trigonométricas:
(i) as fórmulas do ângulo duplo para \cos2x,
(ii) as fórmulas do ângulo metade para \cos x,
(iii) a fórmula do ângulo metade para \operatorname{tg}(x/2).
Na parte (b) devemos usar essas ou outras fórmulas conhecidas para calcular
(i) \operatorname{tg}\bigl(\tfrac\pi{12}\bigr) e
(ii) \cos\bigl(\tfrac\pi{24}\bigr).
O conteúdo central é o uso da identidade pitagórica \sin^2x+\cos^2x=1, da fórmula de adição de ângulos e dos sinais em quadrantes para a parte (a), e trigonometria de ângulos notáveis e fórmulas de ângulo metade na parte (b).

Passo 2

Começamos por (a)(i). A fórmula de adição de cosseno diz
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta.
Tomando \alpha=\beta=x, obtemos
\cos2x=\cos^2x-\sin^2x.
Agora usemos \sin^2x=1-\cos^2x. Substituindo em \cos2x:
\cos2x=\cos^2x-(1-\cos^2x)=2\cos^2x-1.
De modo análogo, usando \cos^2x=1-\sin^2x temos
\cos2x=(1-\sin^2x)-\sin^2x=1-2\sin^2x.

Passo 3

Para (a)(ii) basta ver que as fórmulas de (i) valem para qualquer ângulo. Se em \cos2\theta=2\cos^2\theta-1 fizermos \theta=x/2, vem
\cos x=2\cos^2\!\bigl(\tfrac x2\bigr)-1.
E de \cos2\theta=1-2\sin^2\theta, com \theta=x/2, obtemos
\cos x=1-2\sin^2\!\bigl(\tfrac x2\bigr).

Passo 4

Para (a)(iii) usamos
\operatorname{tg}\bigl(\tfrac x2\bigr)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}.
Das fórmulas de (ii) sabemos
\sin^2\!\bigl(\tfrac x2\bigr)=\frac{1-\cos x}2, \quad \cos^2\!\bigl(\tfrac x2\bigr)=\frac{1+\cos x}2.
Logo
\operatorname{tg}^2\!\bigl(\tfrac x2\bigr) =\frac{\sin^2(x/2)}{\cos^2(x/2)} =\frac{1-\cos x}{1+\cos x},
e portanto
\operatorname{tg}\bigl(\tfrac x2\bigr) =\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}},
onde o sinal é escolhido conforme o quadrante de x/2.

Passo 5

Agora parte (b)(i): \operatorname{tg}\bigl(\tfrac\pi{12}\bigr)=\tg15^\circ. Podemos usar a fórmula de diferença
\operatorname{tg}(45^\circ-30^\circ) =\frac{\tg45^\circ-\tg30^\circ}{1+\tg45^\circ\,\tg30^\circ} =\frac{1-\tfrac1{\sqrt3}}{1+1\cdot\tfrac1{\sqrt3}} =\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}
e racionalizar:
\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3-1} =\frac{3-2\sqrt3+1}{2} =2-\sqrt3.
Logo
\operatorname{tg}\bigl(\tfrac\pi{12}\bigr)=2-\sqrt3.

Passo 6

Por fim, (b)(ii): \cos\bigl(\tfrac\pi{24}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{15^\circ}{2}\bigr). Usamos a fórmula de ângulo metade em (a)(ii):
\cos\bigl(\tfrac x2\bigr) =\sqrt{\frac{1+\cos x}2} \quad\text{com }x=15^\circ.
Como \cos15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4, temos
\cos\bigl(7,5^\circ\bigr) =\sqrt{\frac{1+\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}4}{2}} =\sqrt{\frac{4+\sqrt6+\sqrt2}{8}}.

Resposta

(a)(i) \cos2x=2\cos^2x-1 e \cos2x=1-2\sin^2x
(a)(ii) \cos x=2\cos^2\!\bigl(\tfrac x2\bigr)-1 e \cos x=1-2\sin^2\!\bigl(\tfrac x2\bigr)
(a)(iii) \displaystyle \operatorname{tg}\bigl(\tfrac x2\bigr)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}
(b)(i) \operatorname{tg}\bigl(\tfrac\pi{12}\bigr)=2-\sqrt3
(b)(ii) \cos\bigl(\tfrac\pi{24}\bigr)=\sqrt{\frac{4+\sqrt6+\sqrt2}{8}}

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