(a) Mostre que:
(i)
e
(ii)
e
(iii)
(b) Calcule:
(i)
(ii)
(i)
(ii)
(iii)
(b) Calcule:
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede duas tarefas. Na parte (a) temos que mostrar três famílias de identidades trigonométricas:
(i) as fórmulas do ângulo duplo para ,
(ii) as fórmulas do ângulo metade para ,
(iii) a fórmula do ângulo metade para .
Na parte (b) devemos usar essas ou outras fórmulas conhecidas para calcular
(i) e
(ii) .
O conteúdo central é o uso da identidade pitagórica , da fórmula de adição de ângulos e dos sinais em quadrantes para a parte (a), e trigonometria de ângulos notáveis e fórmulas de ângulo metade na parte (b).
(i) as fórmulas do ângulo duplo para
(ii) as fórmulas do ângulo metade para
(iii) a fórmula do ângulo metade para
Na parte (b) devemos usar essas ou outras fórmulas conhecidas para calcular
(i)
(ii)
O conteúdo central é o uso da identidade pitagórica
Passo 2
Começamos por (a)(i). A fórmula de adição de cosseno diz
Tomando
, obtemos
Agora usemos
. Substituindo em
:
De modo análogo, usando
temos
Passo 3
Para (a)(ii) basta ver que as fórmulas de (i) valem para qualquer ângulo. Se em
fizermos
, vem
E de
, com
, obtemos
Passo 4
Para (a)(iii) usamos
Das fórmulas de (ii) sabemos
Logo
e portanto
onde o sinal é escolhido conforme o quadrante de
.
Passo 5
Agora parte (b)(i):
. Podemos usar a fórmula de diferença
e racionalizar:
Logo
Passo 6
Por fim, (b)(ii):
. Usamos a fórmula de ângulo metade em (a)(ii):
Como
, temos
Resposta
(a)(i)
e
(a)(ii) e
(a)(iii)
(b)(i)
(b)(ii)
(a)(ii)
(a)(iii)
(b)(i)
(b)(ii)