Na representação do inteiro
na base
dada por
onde
e
para
. mostrar que
. Dê um exemplo numérico desta propriedade.
Passo 1
O enunciado dá a representação de um inteiro positivo
na base
:
com
,
e
para
.
A pergunta é provar que
A pergunta é provar que
e apresentar um exemplo numérico ilustrando essa propriedade.
Aqui estão as informações relevantes que temos: os coeficientes são os dígitos na base
, são inteiros com
e
(pois
). A resolução começa a partir dessa expressão.
Aqui estão as informações relevantes que temos: os coeficientes
Passo 2
Primeiro vou obter um limite inferior para
. Como
é um dígito inteiro não nulo e
para todos os
, vale
Portanto
Assim obtemos a desigualdade inferior
Passo 3
Agora obtenho um limite superior para
. Cada dígito satisfaz
, logo
Recordando a fórmula da soma geométrica (mini-aula): para
,
Substituindo na desigualdade,
Como
, concluímos a desigualdade superior
Passo 4
Juntando os resultados dos passos anteriores temos
Agora aplicamos o \emph{logaritmo na base
} em toda a desigualdade. Como
, a função
é estritamente crescente, então preserva as desigualdades:
Usando
obtemos
Pela definição da função piso (parte inteira inferior),
é o maior inteiro menor ou igual a
. A desigualdade acima diz exatamente que
é o inteiro que fica imediatamente abaixo de
. Portanto
Passo 5
Exemplo numérico para fixar a ideia (mini-aula aplicada): escolherei dois exemplos.
Exemplo 1 (base decimal):
e
. A escrita decimal é
aqui
. Verifica-se
, logo
Exemplo 2 (base binária):
e
. A representação binária é
aqui
. Verifica-se
, logo
Resposta
Ex.:
Ex.: