Na representação do inteiro a>0 na base b>1 dada por
a=r_{n} \cdot b^{n}+r_{n-1} \cdot b^{n-1}+\cdots+r_{1} \cdot b+r_{0}
onde n \geq 0, r_{n} \neq 0 e 0 \leq r_{k}<b para k=1,2, \cdots, n. mostrar que n=\left\lfloor\log _{b} a\right\rfloor. Dê um exemplo numérico desta propriedade.

Passo 1

O enunciado dá a representação de um inteiro positivo a na base b>1:
a=r_{n}b^{n}+r_{n-1}b^{n-1}+\cdots+r_{1}b+r_{0},
com n\ge0, r_{n}\neq0 e 0\le r_{k}<b para k=0,1,\dots,n.
A pergunta é provar que
n=\left\lfloor\log_{b}a\right\rfloor
e apresentar um exemplo numérico ilustrando essa propriedade.
Aqui estão as informações relevantes que temos: os coeficientes r_k são os dígitos na base b, são inteiros com 0\le r_k\le b-1 e r_n\ge1 (pois r_n\neq0). A resolução começa a partir dessa expressão.

Passo 2

Primeiro vou obter um limite inferior para a. Como r_n é um dígito inteiro não nulo e 0\le r_k para todos os k, vale
r_n\ge1\quad\text{e}\quad r_{n-1}b^{n-1}+\cdots+r_0\ge0.
Portanto
a=r_n b^n + (r_{n-1}b^{n-1}+\cdots+r_0)\ge 1\cdot b^n = b^n.
Assim obtemos a desigualdade inferior
\boxed{a\ge b^n.}

Passo 3

Agora obtenho um limite superior para a. Cada dígito satisfaz r_k\le b-1, logo
a=r_n b^n + r_{n-1}b^{n-1}+\cdots+r_0 \le (b-1)(b^n+b^{n-1}+\cdots+b^0).
Recordando a fórmula da soma geométrica (mini-aula): para b\neq1,
b^n+b^{n-1}+\cdots+b^0=\frac{b^{\,n+1}-1}{b-1}.
Substituindo na desigualdade,
a \le (b-1)\cdot\frac{b^{\,n+1}-1}{b-1}=b^{\,n+1}-1.
Como b^{\,n+1}-1<b^{\,n+1}, concluímos a desigualdade superior
\boxed{a<b^{\,n+1}.}

Passo 4

Juntando os resultados dos passos anteriores temos
b^n \le a < b^{\,n+1}.
Agora aplicamos o \emph{logaritmo na base b} em toda a desigualdade. Como b>1, a função \log_b é estritamente crescente, então preserva as desigualdades:
\log_b(b^n)\le \log_b a < \log_b(b^{\,n+1}).
Usando \log_b(b^k)=k obtemos
n \le \log_b a < n+1.
Pela definição da função piso (parte inteira inferior), \lfloor x\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a x. A desigualdade acima diz exatamente que n é o inteiro que fica imediatamente abaixo de \log_b a. Portanto
\boxed{n=\left\lfloor\log_b a\right\rfloor.}

Passo 5

Exemplo numérico para fixar a ideia (mini-aula aplicada): escolherei dois exemplos.
Exemplo 1 (base decimal): a=345 e b=10. A escrita decimal é
345=3\cdot 10^2+4\cdot 10+5,
aqui n=2. Verifica-se 10^2=100\le 345<1000=10^3, logo
\left\lfloor\log_{10}345\right\rfloor=2=n.
Exemplo 2 (base binária): a=13 e b=2. A representação binária é
13=1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=1101_2,
aqui n=3. Verifica-se 2^3=8\le13<16=2^4, logo
\left\lfloor\log_{2}13\right\rfloor=3=n.

Resposta

n=\left\lfloor\log_{b}a\right\rfloor
Ex.: 345=3\cdot10^2+4\cdot10+5\Rightarrow n=2=\left\lfloor\log_{10}345\right\rfloor
Ex.: 13=1101_2=1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2+1\Rightarrow n=3=\left\lfloor\log_{2}13\right\rfloor

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