Seja
uma família de conjuntos e
. Prove que existe uma família
com
e
([T] p. 11 no.5.1).
Passo 1
O enunciado dá uma família de conjuntos
e define
. A tarefa é construir outra família
tal que cada
está contido em
(ou seja,
para todo
) e tal que a união de todos os
seja exatamente
, isto é,
.
Informações relevantes fornecidas:
- Temos os conjuntos
para todo . - Definiu-se
. - Precisamos produzir
com propriedades de monotonicidade (cadeia crescente) e união igual a .
Passo 2
Idéia construtiva (a maneira mais natural): acumular os
aos poucos. Defina, para cada
,
Aqui eu estou assumindo a convenção comum
. Se a sua convenção incluir
, basta trocar o índice inicial para
e a mesma construção vale. Vou agora explicar por que essa definição funciona — passo a passo e sem pular nada.
Passo 3
Entendendo a definição de
. A expressão
significa:
se, e somente se, existe algum índice
com
tal que
. É literalmente a união dos primeiros
conjuntos da família
. Essa construção é simples e concreta — você vai somando mais conjuntos conforme aumenta
.
Passo 4
Provar que a sequência
é crescente, isto é,
para todo
.
Tomemos um
fixo e um elemento
. Pela definição de
, existe
com
tal que
. Como
, esse mesmo
satisfaz
, logo
. Assim todo
pertence a
, o que prova
.
Esse argumento vale para qualquer
, então a família é de fato aninhada e crescente.
Passo 5
Provar a inclusão
.
Tome
. Então existe um índice
tal que
. Por definição disso, existe
com
e
. Mas então
, já que
contém todos os
. Portanto
. Como
era arbitrário,
.
Passo 6
Provar a inclusão contrária
.
Tome
. Pela definição de
como união dos
, existe algum índice
tal que
. Mas então
pertence a
, pois
é um dos termos dessa união finita. Assim
. Como
era arbitrário, concluímos
.
Passo 7
Juntando as duas inclusões obtidas nos passos anteriores, temos
Portanto a família
definida por
satisfaz ambas as propriedades pedidas: é crescente e sua união é exatamente
.
Passo 8
Observação prática e incentivo: essa construção é padrão e muito útil — chama-se às vezes “uniões parciais” ou “soma crescente” dos conjuntos. Na prova ou na prova oral, basta dizer "defina
, então
e
" e justificar brevemente as duas inclusões como fizemos. Tá feito — você concluiu a prova! Força aí que você pega o jeito rápido.