Seja \left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} uma família de conjuntos e A=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n}. Prove que existe uma família \left(B_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} com B_{n} \subset B_{n+1} e A=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_{n} ([T] p. 11 no.5.1).

Passo 1

O enunciado dá uma família de conjuntos \left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} e define A=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_{n}. A tarefa é construir outra família \left(B_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} tal que cada B_{n} está contido em B_{n+1} (ou seja, \,B_{n}\subset B_{n+1}\, para todo n) e tal que a união de todos os B_{n} seja exatamente A, isto é, \,A=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_{n}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Temos os conjuntos \,A_{n}\, para todo n\in\mathbb{N}.
  • Definiu-se A=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_{n}.
  • Precisamos produzir \left(B_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} com propriedades de monotonicidade (cadeia crescente) e união igual a A.

Passo 2

Idéia construtiva (a maneira mais natural): acumular os A_{n} aos poucos. Defina, para cada n\in\mathbb{N},
B_{n}:=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}.
Aqui eu estou assumindo a convenção comum \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}. Se a sua convenção incluir 0, basta trocar o índice inicial para 0 e a mesma construção vale. Vou agora explicar por que essa definição funciona — passo a passo e sem pular nada.

Passo 3

Entendendo a definição de B_{n}. A expressão
B_{n}=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}
significa: x\in B_{n} se, e somente se, existe algum índice k com 1\le k\le n tal que x\in A_{k}. É literalmente a união dos primeiros n conjuntos da família \left(A_{n}\right). Essa construção é simples e concreta — você vai somando mais conjuntos conforme aumenta n.

Passo 4

Provar que a sequência \left(B_{n}\right) é crescente, isto é, B_{n}\subset B_{n+1} para todo n.
Tomemos um n\in\mathbb{N} fixo e um elemento x\in B_{n}. Pela definição de B_{n}, existe k com 1\le k\le n tal que x\in A_{k}. Como k\le n<n+1, esse mesmo k satisfaz 1\le k\le n+1, logo x\in \bigcup_{k=1}^{n+1} A_{k}=B_{n+1}. Assim todo x\in B_{n} pertence a B_{n+1}, o que prova B_{n}\subset B_{n+1}.
Esse argumento vale para qualquer n, então a família é de fato aninhada e crescente.

Passo 5

Provar a inclusão \bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_{n}\subset A.
Tome x\in \bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_{n}. Então existe um índice n tal que x\in B_{n}=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}. Por definição disso, existe k com 1\le k\le n e x\in A_{k}. Mas então x\in A, já que A=\bigcup_{m\in\mathbb{N}} A_{m} contém todos os A_{k}. Portanto x\in A. Como x era arbitrário, \bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_{n}\subset A.

Passo 6

Provar a inclusão contrária A\subset \bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_{n}.
Tome x\in A. Pela definição de A como união dos A_{n}, existe algum índice m\in\mathbb{N} tal que x\in A_{m}. Mas então x pertence a B_{m}=\bigcup_{k=1}^{m} A_{k}, pois A_{m} é um dos termos dessa união finita. Assim x\in B_{m}\subset \bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_{n}. Como x era arbitrário, concluímos A\subset \bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_{n}.

Passo 7

Juntando as duas inclusões obtidas nos passos anteriores, temos
\bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_{n}=A.
Portanto a família \left(B_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} definida por B_{n}=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k} satisfaz ambas as propriedades pedidas: é crescente e sua união é exatamente A.

Passo 8

Observação prática e incentivo: essa construção é padrão e muito útil — chama-se às vezes “uniões parciais” ou “soma crescente” dos conjuntos. Na prova ou na prova oral, basta dizer "defina B_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}, então B_{n}\subset B_{n+1} e \bigcup_{n}B_{n}=A" e justificar brevemente as duas inclusões como fizemos. Tá feito — você concluiu a prova! Força aí que você pega o jeito rápido.

Resposta

B_{n}=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k} para todo n\in\mathbb{N}.

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