Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Prove que:
Estas leis de distributividade e leis de Morgan podem ser generalizadas. Seja
uma família de subconjuntos de
. Prove que:
\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)^{\complement}=\bigcup_{i \in I} A_{i}{ }^{\complement});
Estas leis de distributividade e leis de Morgan podem ser generalizadas. Seja
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede para provar a igualdade
onde
é uma família arbitrária de subconjuntos de
.
- Informação dada: cada
é um subconjunto de e é um conjunto índice (pode ser finito ou infinito). Não há outras hipóteses.
Passo 2
Relembrando as definições (aulas rápidas e úteis que vamos usar):
- Complemento relativo: para
, o complemento é o conjunto de todos os pontos de que não estão em . Em notação:
- Interseção de família:
significa que pertence a todos os ; em linguagem lógica:
- União de família:
significa que pertence a pelo menos um dos ; em lógica:
- Nota sobre negação de quantificadores (essencial aqui): a negação de
é . Ou seja, “não está em todos” equivale a “existe um que não está”.
Vou usar essas equivalências para demonstrar a igualdade por dupla inclusão: mostrar que cada lado está contido no outro.
Passo 3
Prova da primeira inclusão
Tomemos um elemento qualquer
e suponha que
Pelo significado de complemento isso quer dizer
Usando a definição da interseção com quantificadores:
Pela regra da negação de quantificadores isto é equivalente a
Mas
é exatamente
. Portanto existe
tal que
, o que, pela definição de união, implica
Como
foi um elemento arbitrário da hipótese, provamos a inclusão desejada.
Passo 4
Prova da segunda inclusão
Novamente, tome
com
Pela definição de união existe algum índice
tal que
ou seja
. Assim
não pertence a todos os
(pois falta pertencer a
), logo
Pelo significado de complemento isto equivale a
Como
foi arbitrário, a inclusão está provada.
Passo 5
Conclusão da igualdade
Juntando as duas inclusões das Passos 3 e 4 obtemos
Comentário didático final: o argumento é puramente lógico — transforma a propriedade “pertencer à interseção” em um quantificador universal e usa a regra de negação de quantificadores para trocar
por
. Isso é exatamente a forma como as Leis de De Morgan se generalizam para famílias arbitrárias (não precisa que
seja finito). Se quiser, podemos repetir a prova no caso dual (complemento da união = interseção dos complementos).