1. (extra) Usando o argumento do Paradoxo de Russel, prove que dado um conjunto A, existe um conjunto N tal que N \notin A. Conclua que não existe o conjunto de todas as coisas, nem o conjunto de todos os conjuntos.

Passo 1

Enunciado: dado um conjunto A, mostrar que existe um conjunto N tal que N \notin A. Em seguida, concluir que não existe o conjunto de todas as coisas nem o conjunto de todos os conjuntos.
Informações dadas e pedido explícito:
  • Temos um conjunto arbitrário A.
  • Queremos construir (ou provar a existência de) um conjunto N e provar que N\notin A.
  • Com essa construção, deduzir que não pode existir um conjunto que contenha todas as coisas nem um conjunto que contenha todos os conjuntos.

Passo 2

Entendendo a notação e a ideia que vamos usar (aulas rápidas e sem pular passos).
  • A notação x\in A significa “ x é elemento de A”.
  • A expressão x\in x significa “o objeto x é elemento de si mesmo”. Isso é possível em teorias de conjuntos sem restrição (por exemplo, nada impede a priori que algum conjunto seja elemento de si mesmo), embora muitos conjuntos “naturais” não tenham essa propriedade.
  • Uma operação muito útil é formar, a partir de um conjunto A, o subconjunto daqueles elementos de A que satisfazem uma certa propriedade P. Escrevemos isso como \{x\in A \mid P(x)\}. Intuitivamente, esse é o conjunto de todos os elementos de A que têm a propriedade P. (Na teoria axiomática de conjuntos isso é permitido pela Axioma da Separação: a partir de A e de uma propriedade P definimos o subconjunto de A que satisfaz P.)
  • A estratégia clássica estilo Russell é definir N como o subconjunto de A formado por aqueles x\in A que não pertencem a si mesmos, isto é, pela propriedade x\notin x. Em seguida, mostramos que essa definição causa uma contradição lógica se supusermos N\in A. Essa contradição nos permite concluir N\notin A.

Passo 3

Construção explícita do conjunto N.
Usando a operação de formar subconjuntos a partir de A, definimos
N = \{\,x\in A \mid x\notin x\,\}.
Explicando em palavras: N é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a si mesmos. Pela construção, N é de fato um conjunto (é um subconjunto de A).

Passo 4

Raciocínio por contradição para provar que N\notin A.
  • Suponha, para obter contradição, que N\in A.
  • Vamos analisar a afirmação “ N\in N”. Pelo modo como construímos N, a definição diz exatamente: N\in N \iff \big(N\in A \;\text{ e }\; N\notin N\big).Aqui usei a definição de N: um elemento y pertence a N se, e somente se, y\in A e y\notin y. Aplicando com y=N, obtemos a equivalência acima.
  • Como estamos supondo N\in A, a equivalência se simplifica para N\in N \iff N\notin N.
  • Essa equivalência é uma contradição lógica imediata: ela afirma que “ N\in N é verdadeiro se, e somente se, N\notin N é verdadeiro”. Não existe valor de verdade que satisfaça simultaneamente p\iff \lnot p.
  • Para ver a contradição de forma direta, examine os dois casos:
    1. Se N\in N, então pela definição (porque N\in A por hipótese) deveríamos ter N\notin N. Logo N\in N implica N\notin N — contradição.
    2. Se N\notin N, então, como N\in A por hipótese, a definição de N diz que N\in N. Logo N\notin N implica N\in N — contradição.
  • Em ambos os casos obtemos contradição. Portanto a hipótese inicial N\in A é falsa.
  • Concluímos: N\notin A.

Passo 5

Interpretação e conclusão geral (ligando ao que o enunciado pede).
  • Mostramos construtivamente, dado qualquer conjunto A, o conjunto N=\{x\in A \mid x\notin x\}satisfaz N\notin A.
  • Agora a dedução sobre a inexistência de um “conjunto de todas as coisas” ou de um “conjunto de todos os conjuntos”: suponha, por absurdo, que exista um conjunto U que contenha todas as coisas (ou que exista um conjunto S que contenha todos os conjuntos). Aplicando o resultado anterior a A=U (ou A=S), obtemos um conjunto N tal que N\notin U (respectivamente N\notin S). Isso contradiz a hipótese de que U contém todas as coisas (ou de que S contém todos os conjuntos). Logo não existe tal conjunto universal.
  • Em palavras: qualquer tentativa de construir “o conjunto de tudo” leva ao paradoxo de Russell pelo argumento acima; portanto não há conjunto que contenha tudo nem conjunto que contenha todos os conjuntos.

Resposta

Existe N=\{x\in A \mid x\notin x\} tal que N\notin A.
Não existe o conjunto de todas as coisas; não existe o conjunto de todos os conjuntos.

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