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- (extra) Usando o argumento do Paradoxo de Russel, prove que dado um conjunto
, existe um conjunto
tal que
. Conclua que não existe o conjunto de todas as coisas, nem o conjunto de todos os conjuntos.
- (extra) Usando o argumento do Paradoxo de Russel, prove que dado um conjunto
, existe um conjunto tal que . Conclua que não existe o conjunto de todas as coisas, nem o conjunto de todos os conjuntos.
Passo 1
Enunciado: dado um conjunto
, mostrar que existe um conjunto
tal que
. Em seguida, concluir que não existe o conjunto de todas as coisas nem o conjunto de todos os conjuntos.
Informações dadas e pedido explícito:
- Temos um conjunto arbitrário
. - Queremos construir (ou provar a existência de) um conjunto
e provar que . - Com essa construção, deduzir que não pode existir um conjunto que contenha todas as coisas nem um conjunto que contenha todos os conjuntos.
Passo 2
Entendendo a notação e a ideia que vamos usar (aulas rápidas e sem pular passos).
- A notação
significa “ é elemento de ”. - A expressão
significa “o objeto é elemento de si mesmo”. Isso é possível em teorias de conjuntos sem restrição (por exemplo, nada impede a priori que algum conjunto seja elemento de si mesmo), embora muitos conjuntos “naturais” não tenham essa propriedade. - Uma operação muito útil é formar, a partir de um conjunto
, o subconjunto daqueles elementos de que satisfazem uma certa propriedade . Escrevemos isso como . Intuitivamente, esse é o conjunto de todos os elementos de que têm a propriedade . (Na teoria axiomática de conjuntos isso é permitido pela Axioma da Separação: a partir de e de uma propriedade definimos o subconjunto de que satisfaz .) - A estratégia clássica estilo Russell é definir
como o subconjunto de formado por aqueles que não pertencem a si mesmos, isto é, pela propriedade . Em seguida, mostramos que essa definição causa uma contradição lógica se supusermos . Essa contradição nos permite concluir .
Passo 3
Construção explícita do conjunto
.
Usando a operação de formar subconjuntos a partir de , definimos
Usando a operação de formar subconjuntos a partir de
Explicando em palavras:
é o conjunto de todos os elementos de
que não pertencem a si mesmos. Pela construção,
é de fato um conjunto (é um subconjunto de
).
Passo 4
Raciocínio por contradição para provar que
.
- Suponha, para obter contradição, que
. - Vamos analisar a afirmação “
”. Pelo modo como construímos , a definição diz exatamente: Aqui usei a definição de : um elemento pertence a se, e somente se, e . Aplicando com , obtemos a equivalência acima. - Como estamos supondo
, a equivalência se simplifica para - Essa equivalência é uma contradição lógica imediata: ela afirma que “
é verdadeiro se, e somente se, é verdadeiro”. Não existe valor de verdade que satisfaça simultaneamente . - Para ver a contradição de forma direta, examine os dois casos:
- Se
, então pela definição (porque por hipótese) deveríamos ter . Logo implica — contradição. - Se
, então, como por hipótese, a definição de diz que . Logo implica — contradição.
- Se
- Em ambos os casos obtemos contradição. Portanto a hipótese inicial
é falsa. - Concluímos:
.
Passo 5
Interpretação e conclusão geral (ligando ao que o enunciado pede).
- Mostramos construtivamente, dado qualquer conjunto
, o conjunto satisfaz . - Agora a dedução sobre a inexistência de um “conjunto de todas as coisas” ou de um “conjunto de todos os conjuntos”: suponha, por absurdo, que exista um conjunto
que contenha todas as coisas (ou que exista um conjunto que contenha todos os conjuntos). Aplicando o resultado anterior a (ou ), obtemos um conjunto tal que (respectivamente ). Isso contradiz a hipótese de que contém todas as coisas (ou de que contém todos os conjuntos). Logo não existe tal conjunto universal. - Em palavras: qualquer tentativa de construir “o conjunto de tudo” leva ao paradoxo de Russell pelo argumento acima; portanto não há conjunto que contenha tudo nem conjunto que contenha todos os conjuntos.
Resposta
Existe
tal que
.
Não existe o conjunto de todas as coisas; não existe o conjunto de todos os conjuntos.
Não existe o conjunto de todas as coisas; não existe o conjunto de todos os conjuntos.