Seja \left\{x \in R \left\lvert\, x \leq \frac{5}{2}\right.\right\} o conjunto solução da inequação
3(x-1)-3(2-x) \leq k\left(x+\frac{1}{2}\right), na qual x é uma variável real.
Nessas condições, a constante k é igual a
A) -2 .
B) -1 .
C) 0 .
D) 1 .
E) 2 .

Passo 1

O enunciado pede o valor de k para que a solução da inequação
3(x-1)-3(2-x)\le k\Bigl(x+\tfrac12\Bigr)
seja exatamente o conjunto \{x\in\mathbb{R}\mid x\le\tfrac{5}{2}\}. O conteúdo é inequação do 1.º grau em x e precisamos analisar o coeficiente de x e o termo independente para forçar o limite x\le\tfrac{5}{2}.

Passo 2

Simplificamos o lado esquerdo e trazemos tudo para um só lado:
3(x-1)-3(2-x)=6x-9,
então a inequação vira
6x-9\le kx+\frac{k}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad (6-k)x\le 9+\frac{k}{2}.

Passo 3

Para que a solução seja x\le \tfrac{5}{2}, o coeficiente 6-k deve ser positivo (se fosse negativo, trocaríamos o sinal e obteríamos x\ge algo; se fosse zero, teríamos all x). Logo, k<6 e, dividindo por 6-k>0, obtemos
x\le \frac{9+\tfrac{k}{2}}{6-k}.
Igualando esse limite a \tfrac{5}{2}:
\frac{9+\tfrac{k}{2}}{6-k}=\frac{5}{2} \quad\Longrightarrow\quad 9+\frac{k}{2}=\frac{5}{2}(6-k) \quad\Longrightarrow\quad 18+k=30-5k \quad\Longrightarrow\quad 6k=12 \quad\Longrightarrow\quad k=2.

Resposta

2

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