Seja \left(x_{n}\right) uma sequência de Cauchy tal que x_{n} é um inteiro para todo n \in \mathbb{N}. Mostre que ( x_{n} ) é constante.

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações:
  • \left(x_{n}\right) é uma sequência de Cauchy.
  • Para todo n\in\mathbb{N}, o termo x_{n} é um inteiro (ou seja, x_{n}\in\mathbb{Z}).
    O que se pede: mostrar que a sequência é constante. Vou interpretar e provar a forma correta e padrão desse resultado: provar que existe um índice N tal que todos os termos a partir de N são iguais, isto é, provar que a sequência é constante a partir de algum índice. Em símbolos, provar que existe N\in\mathbb{N} tal que \forall n\ge N, x_n = x_N.

Passo 2

Lembrete (definição) — o que significa ser sequência de Cauchy:
  • A sequência \left(x_n\right) é Cauchy se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todos m,n\ge N, vale
|x_m - x_n| < \varepsilon.
Vou usar essa definição com um valor específico de \varepsilon que é conveniente quando os termos são inteiros. Explico porque esse truque funciona na próxima etapa.

Passo 3

Escolha do \varepsilon e aplicação da definição: como cada x_n é inteiro, as diferenças |x_m-x_n| só podem assumir valores na coleção \{0,1,2,\dots\} (ou seja, são inteiros não negativos). Assim qualquer \varepsilon com 0<\varepsilon\le 1 tem a propriedade útil de forçar |x_m-x_n|=0 sempre que |x_m-x_n|<\varepsilon. Então tomo, por exemplo, \varepsilon=1.
Pela propriedade Cauchy com \varepsilon=1, existe N\in\mathbb{N} tal que para todos m,n\ge N vale
|x_m-x_n|<1.

Passo 4

Conclusão imediata a partir de que os termos são inteiros: para m,n\ge N, como |x_m-x_n| é um número inteiro e satisfaz |x_m-x_n|<1, o único inteiro possível é 0. Logo
|x_m-x_n|=0\quad\Rightarrow\quad x_m=x_n.
Isto vale para quaisquer m,n\ge N, portanto todos os termos x_n com n\ge N são iguais entre si. Em palavras: a sequência é constante a partir do índice N.

Passo 5

Comentário didático rápido (dicas de prova/para a prova): o passo-chave é escolher \varepsilon menor ou igual a 1. Sempre que os termos da sequência tomam valores em um conjunto discreto como \mathbb{Z}, qualquer condição do tipo |x_m-x_n|<1 já força igualdade. Outra forma de ver: uma sequência de inteiros que é Cauchy é necessariamente eventualmente constante; não é preciso provar igualdade para índices antes de N (pois só se garante igualdade para o “cauda” da sequência).

Resposta

\exists N\in\mathbb{N} tal que \forall n\ge N,\\ x_n = x_N

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