Seja
uma sequência de Cauchy tal que
é um inteiro para todo
. Mostre que (
) é constante.
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações:
-
é uma sequência de Cauchy. - Para todo
, o termo é um inteiro (ou seja, ).
O que se pede: mostrar que a sequência é constante. Vou interpretar e provar a forma correta e padrão desse resultado: provar que existe um índicetal que todos os termos a partir de são iguais, isto é, provar que a sequência é constante a partir de algum índice. Em símbolos, provar que existe tal que , .
Passo 2
Lembrete (definição) — o que significa ser sequência de Cauchy:
- A sequência
é Cauchy se, e somente se, para todo existe um tal que, para todos , vale
Vou usar essa definição com um valor específico de
que é conveniente quando os termos são inteiros. Explico porque esse truque funciona na próxima etapa.
Passo 3
Escolha do
e aplicação da definição: como cada
é inteiro, as diferenças
só podem assumir valores na coleção
(ou seja, são inteiros não negativos). Assim qualquer
com
tem a propriedade útil de forçar
sempre que
. Então tomo, por exemplo,
.
Pela propriedade Cauchy com
, existe
tal que para todos
vale
Passo 4
Conclusão imediata a partir de que os termos são inteiros: para
, como
é um número inteiro e satisfaz
, o único inteiro possível é
. Logo
Isto vale para quaisquer
, portanto todos os termos
com
são iguais entre si. Em palavras: a sequência é constante a partir do índice
.
Passo 5
Comentário didático rápido (dicas de prova/para a prova): o passo-chave é escolher
menor ou igual a
. Sempre que os termos da sequência tomam valores em um conjunto discreto como
, qualquer condição do tipo
já força igualdade. Outra forma de ver: uma sequência de inteiros que é Cauchy é necessariamente eventualmente constante; não é preciso provar igualdade para índices antes de
(pois só se garante igualdade para o “cauda” da sequência).