Seja ( c_{n} ) tal que c_{n}=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}. Mostre diretamente da definição que a sequência ( c_{n} ) é uma sequência de Cauchy.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \bigl(c_n\bigr) definida por
c_n=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}.
Pede-se mostrar, diretamente da definição, que \bigl(c_n\bigr) é uma sequência de Cauchy.
Vou lembrar explicitamente o que significa ser sequência de Cauchy: dado \varepsilon>0, deve existir N\in\mathbb{N} tal que para todos m,n\ge N vale
\bigl|c_m-c_n\bigr|<\varepsilon.
Não resolverei nada ainda; só enumerei o que o problema dá e o que é pedido.

Passo 2

Vamos escrever a diferença entre termos quando m>n. Como c_n é soma parcial da série das inversas de fatoriais, para m>n temos
c_m-c_n=\sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k!}.
Essa expressão é a “cauda” da soma após o índice n. Nosso objetivo será mostrar que essa cauda pode ser tornada arbitrariamente pequena escolhendo n grande.

Passo 3

Agora vamos obter uma desigualdade conveniente para cada termo da cauda. Para k\ge n+1 escrevemos k!= (n+1)!\prod_{j=1}^{k-(n+1)}(n+1+j). Cada fator da produtória satisfaz
n+1+j \ge n+2 \quad\text{para todo } j\ge 1,
portanto
k! \ge (n+1)!\,(n+2)^{\,k-(n+1)}.
Invertendo, obtemos para todo k\ge n+1
\frac{1}{k!}\le \frac{1}{(n+1)!}\cdot\frac{1}{(n+2)^{\,k-(n+1)}}.

Passo 4

Usando a desigualdade do passo anterior, estimamos a soma da cauda:
\sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k!} \le \sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{(n+1)!}\cdot\frac{1}{(n+2)^{\,k-(n+1)}} = \frac{1}{(n+1)!}\sum_{j=0}^{m-(n+1)}\frac{1}{(n+2)^j},
onde fizemos a mudança de índice j=k-(n+1). Assim a cauda está dominada por uma soma geométrica parcial.

Passo 5

A soma geométrica parcial \sum_{j=0}^{m-(n+1)}(n+2)^{-j} é menor que a soma geométrica infinita \sum_{j=0}^{\infty}(n+2)^{-j}. Como n+2\ge 2 para todo n\ge 0, o termo r=\frac{1}{n+2} satisfaz 0<r\le\frac{1}{2}, e a soma infinita converge com valor \frac{1}{1-r}. Portanto
\sum_{j=0}^{m-(n+1)}\frac{1}{(n+2)^j} \le \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{(n+2)^j} = \frac{1}{1-\dfrac{1}{n+2}} = \frac{n+2}{n+1}.
Substituindo na estimativa do passo anterior:
\sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k!} \le \frac{1}{(n+1)!}\cdot\frac{n+2}{n+1} = \frac{1}{(n+1)!}\left(1+\frac{1}{n+1}\right).

Passo 6

Para simplificar e obter uma forma mais direta que tende a zero quando n\to\infty, notamos que \dfrac{n+2}{n+1}\le 2 para todo n\ge 0. Assim, para m>n vale a estimativa mais simples
\bigl|c_m-c_n\bigr|=\sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k!}\le \frac{2}{(n+1)!}.
A direita \dfrac{2}{(n+1)!} tende a 0 quando n\to\infty, pois o fatorial cresce muito rápido.

Passo 7

Agora fazemos a prova direta do critério de Cauchy. Seja \varepsilon>0 fixo. Como \dfrac{2}{(n+1)!}\to 0, existe N\in\mathbb{N} tal que
\frac{2}{(N+1)!}<\varepsilon.
Escolhendo esse N, para quaisquer m,n\ge N (supondo sem perda m\ge n) temos, pelas estimativas anteriores,
\bigl|c_m-c_n\bigr|\le \frac{2}{(n+1)!}\le \frac{2}{(N+1)!}<\varepsilon.
Isto mostra exatamente a condição de Cauchy: a diferença entre quaisquer dois termos suficientemente à frente é menor que \varepsilon.

Resposta

A sequência \bigl(c_n\bigr) é de Cauchy; de fato, para dado \varepsilon>0 basta escolher N tal que \dfrac{2}{(N+1)!}<\varepsilon, e então para todos m,n\ge N tem-se \bigl|c_m-c_n\bigr|<\varepsilon.

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