Seja ( c_{n} ) tal que c_{n}=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}. Mostre diretamente da definição que a sequência ( c_{n} ) é uma sequência de Cauchy.
Passo 1
O enunciado dá a sequência \bigl(c_n\bigr) definida por
Pede-se mostrar, diretamente da definição, que \bigl(c_n\bigr) é uma sequência de Cauchy.
Vou lembrar explicitamente o que significa ser sequência de Cauchy: dado \varepsilon>0, deve existir N\in\mathbb{N} tal que para todos m,n\ge N vale
\bigl|c_m-c_n\bigr|<\varepsilon.
Não resolverei nada ainda; só enumerei o que o problema dá e o que é pedido.
Passo 2
Vamos escrever a diferença entre termos quando m>n. Como c_n é soma parcial da série das inversas de fatoriais, para m>n temos
c_m-c_n=\sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k!}.
Essa expressão é a “cauda” da soma após o índice n. Nosso objetivo será mostrar que essa cauda pode ser tornada arbitrariamente pequena escolhendo n grande.
Passo 3
Agora vamos obter uma desigualdade conveniente para cada termo da cauda. Para k\ge n+1 escrevemos k!= (n+1)!\prod_{j=1}^{k-(n+1)}(n+1+j). Cada fator da produtória satisfaz
onde fizemos a mudança de índice j=k-(n+1). Assim a cauda está dominada por uma soma geométrica parcial.
Passo 5
A soma geométrica parcial \sum_{j=0}^{m-(n+1)}(n+2)^{-j} é menor que a soma geométrica infinita \sum_{j=0}^{\infty}(n+2)^{-j}. Como n+2\ge 2 para todo n\ge 0, o termo r=\frac{1}{n+2} satisfaz 0<r\le\frac{1}{2}, e a soma infinita converge com valor \frac{1}{1-r}. Portanto
Para simplificar e obter uma forma mais direta que tende a zero quando n\to\infty, notamos que \dfrac{n+2}{n+1}\le 2 para todo n\ge 0. Assim, para m>n vale a estimativa mais simples
Isto mostra exatamente a condição de Cauchy: a diferença entre quaisquer dois termos suficientemente à frente é menor que \varepsilon.
Resposta
A sequência \bigl(c_n\bigr) é de Cauchy; de fato, para dado \varepsilon>0 basta escolher N tal que \dfrac{2}{(N+1)!}<\varepsilon, e então para todos m,n\ge N tem-se \bigl|c_m-c_n\bigr|<\varepsilon.