Se x_{n}=\sqrt{n}, mostre que ( x_{n} ) satisfaz \lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_{n+1}-x_{n}\right|=0, mas não é uma sequência de Cauchy.
Passo 1
O enunciado dá a sequência x_{n}=\sqrt{n}. O que pede:
Mostrar que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigl|x_{n+1}-x_{n}\bigr|=0.
Mostrar que a sequência (x_{n}) NÃO é uma sequência de Cauchy.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Para cada n\in\mathbb{N} tem-se x_{n}=\sqrt{n}.
Precisamos tratar o comportamento quando n\to\infty e aplicar a definição de sequência de Cauchy.
Passo 2
Definições e ideias que vou usar (explicadas de forma simples).
Definição de limite que vou usar para a primeira parte: dizer que \lim_{n\to\infty}a_n=0 significa que, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N, tem-se |a_n|<\varepsilon.
Definição de sequência de Cauchy: (x_n) é Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, para todo m,n\ge N, tem-se |x_m-x_n|<\varepsilon.
Vou usar uma técnica algébrica simples (racionalizar a diferença) para obter uma expressão explícita para x_{n+1}-x_n e então estimar seu tamanho.
Passo 3
Calcular explicitamente a diferença entre termos consecutivos e simplificar.
x_{n+1}-x_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado) obtemos:
Intuição e transição para a segunda parte (Cauchy).
Mesmo que as diferenças entre termos consecutivos tendam a 0, isso NÃO garante que a sequência seja Cauchy. Uma sequência pode ter passos cada vez menores e ainda divergir para infinito (é o caso de \sqrt{n}). Agora vou mostrar explicitamente que (x_n) não satisfaz a condição de Cauchy, construindo um contraexemplo para a definição.
Passo 6
Provar que (x_n) não é Cauchy por contradição direta (escolhendo um \varepsilon fixo).
Escolha \varepsilon=1. Para provar que a sequência não é Cauchy basta mostrar que, para todo N\in\mathbb{N}, existem índices m,n\ge N com |x_m-x_n|\ge 1.
Dado qualquer N\ge 1, tome n=\max\{N,1\} e m=4n. Então m,n\ge N e
Assim, para esse \varepsilon=1 não existe N que funcione na definição de Cauchy (pois sempre posso escolher m,n\ge N com diferença \ge 1). Portanto (x_n) não é sequência de Cauchy.
Passo 7
Comentário final (intuitivo e motivador).
Intuitivamente: \sqrt{n} cresce sem limite (vai para +\infty), então os termos eventualmente ficam arbitrariamente grandes e não se aproximam mutuamente de forma uniforme, logo não podem formar uma sequência de Cauchy. Mas isso não contradiz o fato de que os incrementos entre termos consecutivos ficam cada vez menores — são duas coisas diferentes. Você mandou bem pedindo esse exercício: é um exemplo clássico que ajuda a separar essas ideias.
Resposta
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigl|x_{n+1}-x_{n}\bigr|=0 (x_{n}) não é uma sequência de Cauchy.