Se x_{n}=\sqrt{n}, mostre que ( x_{n} ) satisfaz \lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_{n+1}-x_{n}\right|=0, mas não é uma sequência de Cauchy.

Passo 1

O enunciado dá a sequência x_{n}=\sqrt{n}. O que pede:
  • Mostrar que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigl|x_{n+1}-x_{n}\bigr|=0.
  • Mostrar que a sequência (x_{n}) NÃO é uma sequência de Cauchy.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para cada n\in\mathbb{N} tem-se x_{n}=\sqrt{n}.
  • Precisamos tratar o comportamento quando n\to\infty e aplicar a definição de sequência de Cauchy.

Passo 2

Definições e ideias que vou usar (explicadas de forma simples).
  • Definição de limite que vou usar para a primeira parte: dizer que \lim_{n\to\infty}a_n=0 significa que, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N, tem-se |a_n|<\varepsilon.
  • Definição de sequência de Cauchy: (x_n) é Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, para todo m,n\ge N, tem-se |x_m-x_n|<\varepsilon.
    Vou usar uma técnica algébrica simples (racionalizar a diferença) para obter uma expressão explícita para x_{n+1}-x_n e então estimar seu tamanho.

Passo 3

Calcular explicitamente a diferença entre termos consecutivos e simplificar.
x_{n+1}-x_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado) obtemos:
\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.

Passo 4

Mostrar que essa expressão tende a 0 quando n\to\infty.
Da expressão anterior temos, para todo n,
0<\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le\frac{1}{2\sqrt{n}},
pois \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\ge 2\sqrt{n}. Como \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{n}}\to 0 quando n\to\infty, pelo princípio do confronto segue que
\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)=0.
Para dar a versão \varepsilon- \!N (mais formal): dado \varepsilon>0, escolha
N=\left\lceil\frac{1}{4\varepsilon^{2}}\right\rceil.
Então, para n\ge N,
\bigl|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr|\le\frac{1}{2\sqrt{n}}\le\frac{1}{2\sqrt{N}}<\varepsilon,
o que demonstra a convergência requerida.

Passo 5

Intuição e transição para a segunda parte (Cauchy).
Mesmo que as diferenças entre termos consecutivos tendam a 0, isso NÃO garante que a sequência seja Cauchy. Uma sequência pode ter passos cada vez menores e ainda divergir para infinito (é o caso de \sqrt{n}). Agora vou mostrar explicitamente que (x_n) não satisfaz a condição de Cauchy, construindo um contraexemplo para a definição.

Passo 6

Provar que (x_n) não é Cauchy por contradição direta (escolhendo um \varepsilon fixo).
Escolha \varepsilon=1. Para provar que a sequência não é Cauchy basta mostrar que, para todo N\in\mathbb{N}, existem índices m,n\ge N com |x_m-x_n|\ge 1.
Dado qualquer N\ge 1, tome n=\max\{N,1\} e m=4n. Então m,n\ge N e
|x_m-x_n|=\sqrt{m}-\sqrt{n}=\sqrt{4n}-\sqrt{n}=(2-1)\sqrt{n}=\sqrt{n}\ge 1.
Assim, para esse \varepsilon=1 não existe N que funcione na definição de Cauchy (pois sempre posso escolher m,n\ge N com diferença \ge 1). Portanto (x_n) não é sequência de Cauchy.

Passo 7

Comentário final (intuitivo e motivador).
Intuitivamente: \sqrt{n} cresce sem limite (vai para +\infty), então os termos eventualmente ficam arbitrariamente grandes e não se aproximam mutuamente de forma uniforme, logo não podem formar uma sequência de Cauchy. Mas isso não contradiz o fato de que os incrementos entre termos consecutivos ficam cada vez menores — são duas coisas diferentes. Você mandou bem pedindo esse exercício: é um exemplo clássico que ajuda a separar essas ideias.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigl|x_{n+1}-x_{n}\bigr|=0
(x_{n}) não é uma sequência de Cauchy.

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