Seja \left(x_{n}\right) uma sequência qualquer. Mostre que:
( x_{n} ) é limitada se, e somente se, ( \left|x_{n}\right| ) for limitada.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência arbitrária \left(x_{n}\right) e pede para mostrar a equivalência:
\text{\(\left(x_{n}\right)\) é limitada} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{\(\left(|x_{n}|\right)\) é limitada.}éé
Em outras palavras, precisamos provar duas coisas separadamente:
  1. Se \left(x_{n}\right) é limitada então \left(|x_{n}|\right) é limitada.
  2. Se \left(|x_{n}|\right) é limitada então \left(x_{n}\right) é limitada.
Também temos disponível apenas a definição usual de sequência limitada (não há outras hipóteses sobre \left(x_{n}\right)).

Passo 2

Definição importante (vou explicar passo a passo, como em prova de prova):
  • Dizemos que a sequência \left(x_{n}\right) é limitada se existir um número real M>0 tal que, para todo n natural,
|x_{n}|\le M.
Aqui |x_{n}| é o valor absoluto de x_{n}, que é sempre não negativo. Note a forma da definição: existe M>0 tal que para todo n vale a desigualdade — isso é crucial (quantificadores).
  • A sequência \left(|x_{n}|\right) é simplesmente a sequência cujos termos são os valores absolutos: o n-ésimo termo é |x_{n}|.
  • Uma observação simples e útil sobre valor absoluto: para qualquer número real y vale
\bigl|\,|y|\,\bigr| = |y|.
Isto significa que tirar valor absoluto duas vezes não muda nada; em particular |\,|x_{n}|\,|=|x_{n}| para todo n.

Passo 3

Prova da implicação 1: \left(x_{n}\right) limitada \Rightarrow \left(|x_{n}|\right) limitada.
Suponha que \left(x_{n}\right) seja limitada. Pela definição, existe M>0 tal que, para todo n,
|x_{n}|\le M.
Mas os termos da sequência \left(|x_{n}|\right) são exatamente |x_{n}|. Logo para todo n também vale
\bigl|\,|x_{n}|\,\bigr| = |x_{n}|\le M.
Portanto a sequência \left(|x_{n}|\right) satisfaz a definição de limitada (com o mesmo M), logo \left(|x_{n}|\right) é limitada.
Comentário didático curto: basta notar que a definição de limitada já envolve |x_n|; então se |x_n| está limitada com bound M, a sequência dos módulos é limitada com o mesmo bound.

Passo 4

Prova da implicação 2: \left(|x_{n}|\right) limitada \Rightarrow \left(x_{n}\right) limitada.
Suponha que \left(|x_{n}|\right) seja limitada. Então existe M>0 tal que, para todo n,
\bigl|\,|x_{n}|\,\bigr|\le M.
Mas, como observado, \bigl|\,|x_{n}|\,\bigr|=|x_{n}|. Assim para todo n vale
|x_{n}|\le M.
Isso é exatamente a definição de que \left(x_{n}\right) é limitada (com o mesmo M). Portanto \left(x_{n}\right) é limitada.
Comentário didático curto: a definição de limitada de \left(x_n\right) e de \left(|x_n|\right) é a mesma desigualdade envolvendo |x_n|; por isso uma implica a outra com o mesmo constante M.

Passo 5

Observações pedagógicas para a prova na hora da avaliação:
  • Para provar uma equivalência do tipo ``A se, e somente se, B’’ lembre-se de provar as duas implicações A \Rightarrow B e B \Rightarrow A separadamente.
  • Aqui a prova é curta porque a própria definição de sequência limitada usa o valor absoluto |x_n|. Muitos alunos se assustam, mas basta escrever explicitamente a definição com quantificadores (existe M>0 tal que para todo n …) e seguir diretamente.
  • Dica prática: ao apresentar, escreva exatamente a definição e mostre o mesmo M serve para as duas sequências; isso deixa a prova clara e rigorosa.

Passo 6

Exemplos para fixar a ideia:
  • Se x_{n}=(-1)^{n}, então |x_{n}|=1 para todo n. Ambas as sequências são limitadas (pode escolher M=1).
  • Se x_{n}=n, então |x_{n}|=n e nenhuma das duas é limitada (não existe M que sirva para todos os n).
    Esses exemplos mostram que as duas noções sempre andam juntas.

Resposta

A sequência \left(x_{n}\right) é limitada se, e somente se, a sequência \left(|x_{n}|\right) for limitada.

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