Essa expressão mostra que o problema está em controlar o denominador |x_{n}|. Precisamos garantir que |x_{n}| não fique muito perto de zero quando n grande — isso é garantido porque x_{n}\to a e a\neq 0.
Passo 4
Como a\neq 0, escolha um número positivo conveniente, por exemplo \frac{|a|}{2}. Pela convergência \lim x_{n}=a, existe N_{1} tal que, para todo n\ge N_{1},
|x_{n}-a|<\frac{|a|}{2}.
Aplicando a desigualdade triangular reversa (ou apenas a desigualdade triangular),
Como x_{n}\to a, existe N_{2} tal que, para todo n\ge N_{2},
|x_{n}-a|<\frac{|a|^{2}}{2}\,\varepsilon.
Escolhemos então
N=\max\{N_{1},N_{2}\}.
Para todo n\ge N valem simultaneamente |x_{n}|>\frac{|a|}{2} e |x_{n}-a|<\frac{|a|^{2}}{2}\varepsilon. Combinando essas duas desigualdades (como no Passo 5) obtemos
Isso mostra que, para todo \varepsilon>0, existe N tal que n\ge N implica \left|\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{a}\right|<\varepsilon. Portanto \frac{1}{x_{n}}\to\frac{1}{a}.
Passo 7
Comentário rápido sobre método: uma alternativa curta é usar que a função recíproca f(x)=1/x é contínua em qualquer ponto a\neq 0 e então aplicar o fato geral "se x_{n}\to a e f contínua em a então f(x_{n})\to f(a)". Eu optei por fazer o argumento epsilon-explicito porque é o que geralmente se exige em provas elementares e mostra concretamente como controlar a diferença entre recíprocos.