Sejam \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) sequências tais que \lim x_{n}=a \quad e \quad \lim y_{n}=b. Prove que:
\lim \left(\frac{x_{n}+y_{n}}{2}\right)=\frac{a+b}{2}

Passo 1

O enunciado dá duas sequências \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) e afirma que
\lim x_{n}=a
e
\lim y_{n}=b.
A pergunta é: provar que
\lim \left(\frac{x_{n}+y_{n}}{2}\right)=\frac{a+b}{2}.
Informações relevantes dadas: para \left(x_{n}\right) existe convergência para \,a e para \left(y_{n}\right) existe convergência para \,b. Não há outros dados; precisamos usar a definição de limite de sequências para provar a igualdade pedida.

Passo 2

Vamos relembrar (e entender bem) a definição de limite de sequência, porque é o que vamos usar de forma direta e precisa. A definição é:
\lim x_{n}=a
significa que para todo \varepsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_{n}-a|<\varepsilon.
A mesma definição vale para \lim y_{n}=b: para todo \varepsilon>0 existe M\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge M,
|y_{n}-b|<\varepsilon.
Entender isso é fundamental: provar que uma sequência converge é, essencialmente, mostrar que a diferença entre o termo da sequência e o limite fica arbitrariamente pequena a partir de algum índice.

Passo 3

Planejamento do que faremos: queremos mostrar que, dado qualquer \varepsilon>0, existe um índice N_0 tal que, para todo n\ge N_0,
\left|\frac{x_{n}+y_{n}}{2}-\frac{a+b}{2}\right|<\varepsilon.
Ou seja, vamos aplicar a definição de limite à sequência \left(\frac{x_{n}+y_{n}}{2}\right). Para isso vamos manipular a expressão do módulo e usar uma desigualdade simples (a desigualdade triangular) para relacionar \left|\frac{x_{n}+y_{n}}{2}-\frac{a+b}{2}\right| com |x_{n}-a| e |y_{n}-b|, para então aproveitar que ambas ficam pequenas quando n é grande.

Passo 4

Manipulação algébrica inicial (mostrar passo a passo a igualdade que vamos estimar):
\left|\frac{x_{n}+y_{n}}{2}-\frac{a+b}{2}\right| =\left|\frac{(x_{n}-a)+(y_{n}-b)}{2}\right| =\frac{1}{2}\left|(x_{n}-a)+(y_{n}-b)\right|.
Aqui apenas somamos e subtraímos a e b e colocamos o fator \frac{1}{2} em evidência. O próximo passo é usar a desigualdade triangular para estimar o módulo da soma.

Passo 5

Aplicando a desigualdade triangular: lembrando que, para quaisquer números reais u e v,
|u+v|\le |u|+|v|,
tomamos u=x_{n}-a e v=y_{n}-b. Assim
\left|(x_{n}-a)+(y_{n}-b)\right|\le |x_{n}-a|+|y_{n}-b|.
Substituindo na expressão anterior obtemos
\left|\frac{x_{n}+y_{n}}{2}-\frac{a+b}{2}\right| \le \frac{1}{2}\big(|x_{n}-a|+|y_{n}-b|\big).

Passo 6

Agora vamos usar a hipótese de convergência de \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right). Seja \varepsilon>0 arbitrário. Como \lim x_{n}=a, existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_1,
|x_{n}-a|<\varepsilon.
Como \lim y_{n}=b, existe N_2\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_2,
|y_{n}-b|<\varepsilon.
(Na prática escolhemos o mesmo \varepsilon para cada uma porque, ao somar, fica fácil controlar o total.)

Passo 7

Definimos
N_0=\max\{N_1,N_2\}.
Então para todo n\ge N_0 temos simultaneamente |x_{n}-a|<\varepsilon e |y_{n}-b|<\varepsilon. Substituindo estas desigualdades na estimativa do Passo 5:
\left|\frac{x_{n}+y_{n}}{2}-\frac{a+b}{2}\right| \le \frac{1}{2}\big(|x_{n}-a|+|y_{n}-b|\big) < \frac{1}{2}(\varepsilon+\varepsilon) =\varepsilon.
Portanto, para todo n\ge N_0 temos a desigualdade desejada.

Passo 8

Concluímos com a estrutura da definição: dado \varepsilon>0 exibimos um N_0 (construído acima) tal que, para todo n\ge N_0,
\left|\frac{x_{n}+y_{n}}{2}-\frac{a+b}{2}\right|<\varepsilon.
Isso prova, pela definição de limite de sequência, que
\lim \left(\frac{x_{n}+y_{n}}{2}\right)=\frac{a+b}{2}.
Pequeno comentário final (motivacional): em provas de limites essa estratégia — escrever a diferença, usar desigualdade triangular e escolher N como máximo dos Ns que garantem pequenas as diferenças individuais — é uma receita que aparece o tempo todo. Você já tem a receita pronta para usar em outras somas ou combinações lineares!

Resposta

\displaystyle \lim \left(\frac{x_{n}+y_{n}}{2}\right)=\frac{a+b}{2}

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