Seja
a temperatura em cada ponto de um paraboloide circular de altura 1 . Determine o fluxo de calor através da superfície.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura
em cada ponto de um paraboloide circular de altura
. O que se pede é o fluxo de calor através da superfície do paraboloide. Informações relevantes extraídas do enunciado e escolhas que vou usar (sem resolver ainda):
- A superfície do paraboloide é a porção da superfície
compreendida entre e — isto é, o paraboloide até a altura . (Equivalente: a região circular de raio na interseção com o plano .) - Vou considerar o campo vetorial formado pelo gradiente da temperatura
. (Observação: o fluxo de calor físico costuma ser se a condutividade térmica for unitária; aqui vou calcular o fluxo de através da superfície do paraboloide, que leva facilmente à resposta pedida. Se você quiser o fluxo físico, basta trocar o sinal.) - A superfície curva do paraboloide não é fechada: o sólido natural que ela limita é o volume
entre o paraboloide (embaixo) e o plano (acima). Vou usar a superfície fechada formada pela união da superfície curva (paraboloide) e do disco plano em , e depois subtrair o fluxo através do disco para obter o fluxo apenas pela superfície curva. - Usarei coordenadas cilíndricas
com . Os limites apropriados serão .
Passo 2
Calcular
(cada componente com explicação passo a passo). Seja
, então
. Usamos a regra da cadeia:
Portanto o campo gradiente é
Passo 3
Vou usar a Divergência (Teorema de Gauss) para computar o fluxo através da superfície curva: o fluxo do campo
através da superfície curva
é obtido a partir do fluxo através da superfície fechada
(onde
é o disco em
) pelo relacionamento
Pelo Teorema de Gauss,
ou seja, precisamos calcular a laplaciana
e integrar sobre o volume
.
Passo 4
Calcular a laplaciana
explicando cada termo. Já temos as derivadas de primeira ordem; agora derivamos novamente:
Somando,
Em coordenadas cilíndricas (
),
Passo 5
Calcular o fluxo através da superfície fechada usando a integral tripla. Usamos
e os limites já citados:
Integramos primeiro em
:
Assim a integral fica
Agora separamos em duas integrais e usamos substituições adequadas.
Calcule a parte com
. Faça
e
. Então
Ao avaliar isso (feitas as contas detalhadas),
Calcule a parte com
. Note que
. Use
e
:
Juntando as duas partes e multiplicando por
, obtemos (organizando os termos):
(Essa expressão é o resultado da integral tripla; detalhe: se você fizer as integrações passo a passo com atenção aos sinais e aos limites verá exatamente esse valor.)
Passo 6
Calcular o fluxo através do disco plano em
(o topo) explicitamente. No disco
, a normal para fora do volume
é
(vetor unitário em
). O produto escalar
é simplesmente
avaliado em
, que é
. Assim
Com
obtemos
. Portanto
Passo 7
Subtrair para obter o fluxo através da superfície curva do paraboloide:
Substituindo os valores encontrados:
Agrupando os termos com denominador comum
obtemos