Seja T(x, y, z)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z\right)} a temperatura em cada ponto de um paraboloide circular de altura 1 . Determine o fluxo de calor através da superfície.
\left(\frac{\pi}{2}\left(5 e^{-2}-1\right) \mathrm{~m}^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a temperatura
T(x,y,z)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z\right)}
em cada ponto de um paraboloide circular de altura 1. O que se pede é o fluxo de calor através da superfície do paraboloide. Informações relevantes extraídas do enunciado e escolhas que vou usar (sem resolver ainda):
  • A superfície do paraboloide é a porção da superfície z=x^{2}+y^{2} compreendida entre z=0 e z=1 — isto é, o paraboloide até a altura 1. (Equivalente: a região circular de raio 1 na interseção com o plano z=1.)
  • Vou considerar o campo vetorial formado pelo gradiente da temperatura \nabla T. (Observação: o fluxo de calor físico costuma ser -\nabla T se a condutividade térmica for unitária; aqui vou calcular o fluxo de \nabla T através da superfície do paraboloide, que leva facilmente à resposta pedida. Se você quiser o fluxo físico, basta trocar o sinal.)
  • A superfície curva do paraboloide não é fechada: o sólido natural que ela limita é o volume V entre o paraboloide z=x^{2}+y^{2} (embaixo) e o plano z=1 (acima). Vou usar a superfície fechada formada pela união da superfície curva (paraboloide) e do disco plano em z=1, e depois subtrair o fluxo através do disco para obter o fluxo apenas pela superfície curva.
  • Usarei coordenadas cilíndricas \,(r,\theta,z)\, com x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta. Os limites apropriados serão 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi,\;r^{2}\le z\le1.

Passo 2

Calcular \nabla T (cada componente com explicação passo a passo). Seja \varphi(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z, então T=e^{-\varphi}. Usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial T}{\partial x}=-\frac{\partial\varphi}{\partial x}e^{-\varphi}=-2x\,e^{-\varphi},
\frac{\partial T}{\partial y}=-2y\,e^{-\varphi},
\frac{\partial T}{\partial z}=-1\cdot e^{-\varphi}=-e^{-\varphi}.
Portanto o campo gradiente é
\nabla T = \bigl(-2x\,e^{-(x^{2}+y^{2}+z)},\; -2y\,e^{-(x^{2}+y^{2}+z)},\; -e^{-(x^{2}+y^{2}+z)}\bigr).

Passo 3

Vou usar a Divergência (Teorema de Gauss) para computar o fluxo através da superfície curva: o fluxo do campo \nabla T através da superfície curva S_{\text{curva}} é obtido a partir do fluxo através da superfície fechada S_{\text{fechada}}=S_{\text{curva}}\cup S_{\text{topo}} (onde S_{\text{topo}} é o disco em z=1) pelo relacionamento
\iint_{S_{\text{curva}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S_{\text{fechada}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS-\iint_{S_{\text{topo}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS.
Pelo Teorema de Gauss,
\iint_{S_{\text{fechada}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}(\nabla T)\,dV=\iiint_{V}\Delta T\,dV,
ou seja, precisamos calcular a laplaciana \Delta T e integrar sobre o volume V=\{(r,\theta,z):0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi,\;r^{2}\le z\le1\}.

Passo 4

Calcular a laplaciana \Delta T explicando cada termo. Já temos as derivadas de primeira ordem; agora derivamos novamente:
\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x e^{-\varphi}\bigr)=(-2)e^{-\varphi}+(-2x)(-2x)e^{-\varphi}=(-2+4x^{2})e^{-\varphi},
\frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}}=(-2+4y^{2})e^{-\varphi},
\frac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-e^{-\varphi}\bigr)=e^{-\varphi}.
Somando,
\Delta T=\bigl((-2+4x^{2})+(-2+4y^{2})+1\bigr)e^{-\varphi}=(4x^{2}+4y^{2}-3)e^{-(x^{2}+y^{2}+z)}.
Em coordenadas cilíndricas ( x^{2}+y^{2}=r^{2}),
\Delta T=(4r^{2}-3)e^{-(r^{2}+z)}.

Passo 5

Calcular o fluxo através da superfície fechada usando a integral tripla. Usamos dV=r\,dr\,d\theta\,dz e os limites já citados:
\iint_{S_{\text{fechada}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\Delta T\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{z=r^{2}}^{1}(4r^{2}-3)e^{-(r^{2}+z)}\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em z:
\int_{z=r^{2}}^{1}e^{-z}\,dz=e^{-r^{2}}-e^{-1}.
Assim a integral fica
2\pi\int_{0}^{1}(4r^{2}-3)r\bigl(e^{-r^{2}}-e^{-1}\bigr)e^{-r^{2}}\,dr =2\pi\int_{0}^{1}(4r^{2}-3)r\bigl(e^{-2r^{2}}-e^{-r^{2}-1}\bigr)\,dr.
Agora separamos em duas integrais e usamos substituições adequadas.
Calcule a parte com e^{-2r^{2}}. Faça u=2r^{2}\Rightarrow du=4r\,dr e r\,dr=du/4. Então
\int_{0}^{1}(4r^{2}-3)r e^{-2r^{2}}\,dr =\frac{1}{4}\int_{0}^{2}(2u-3)e^{-u}\,du =\frac{1}{4}\bigl[(-3e^{-u}+2u e^{-u})\bigr]_{0}^{2}.
Ao avaliar isso (feitas as contas detalhadas),
\int_{0}^{1}(4r^{2}-3)r e^{-2r^{2}}\,dr=\frac{-3e^{-2}-1}{4}.
Calcule a parte com e^{-r^{2}-1}. Note que e^{-r^{2}-1}=e^{-1}e^{-r^{2}}. Use v=r^{2}\Rightarrow dv=2r\,dr e r\,dr=dv/2:
\int_{0}^{1}(4r^{2}-3)r e^{-r^{2}-1}\,dr =e^{-1}\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(4v-3)e^{-v}\,dv =e^{-1}\,\frac{1-5e^{-1}}{2}.
Juntando as duas partes e multiplicando por 2\pi, obtemos (organizando os termos):
\iint_{S_{\text{fechada}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS =\frac{\pi}{2}\bigl(7e^{-2}-2e^{-1}-1\bigr).
(Essa expressão é o resultado da integral tripla; detalhe: se você fizer as integrações passo a passo com atenção aos sinais e aos limites verá exatamente esse valor.)

Passo 6

Calcular o fluxo através do disco plano em z=1 (o topo) explicitamente. No disco z=1, a normal para fora do volume V é \mathbf{n}=\mathbf{k} (vetor unitário em +z). O produto escalar \nabla T\cdot\mathbf{n} é simplesmente \partial T/\partial z avaliado em z=1, que é -e^{-(r^{2}+1)}. Assim
\iint_{S_{\text{topo}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\bigl(-e^{-(r^{2}+1)}\bigr)r\,dr\,d\theta =-2\pi e^{-1}\int_{0}^{1}r e^{-r^{2}}\,dr.
Com s=r^{2}\Rightarrow ds=2r\,dr obtemos \int_{0}^{1}r e^{-r^{2}}\,dr=\tfrac{1}{2}(1-e^{-1}). Portanto
\iint_{S_{\text{topo}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS=-\pi e^{-1}(1-e^{-1})=-\pi\bigl(e^{-1}-e^{-2}\bigr).

Passo 7

Subtrair para obter o fluxo através da superfície curva do paraboloide:
\iint_{S_{\text{curva}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{S_{\text{fechada}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS -\iint_{S_{\text{topo}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS.
Substituindo os valores encontrados:
\iint_{S_{\text{curva}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS =\frac{\pi}{2}\bigl(7e^{-2}-2e^{-1}-1\bigr)-\bigl(-\pi(e^{-1}-e^{-2})\bigr).
Agrupando os termos com denominador comum \tfrac{\pi}{2} obtemos
\iint_{S_{\text{curva}}}\nabla T\cdot\mathbf{n}\,dS =\frac{\pi}{2}\bigl(7e^{-2}-2e^{-1}-1+2e^{-1}-2e^{-2}\bigr) =\frac{\pi}{2}\bigl(5e^{-2}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}\bigl(5e^{-2}-1\bigr)\\ \mathrm{m}^{3}

Exercícios relacionados