Encontre a parametrização para o pedaço de plano
que está dentro do cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização do pedaço do plano
que está “dentro” do cilindro
. Informações dadas e o que se pede:
- Temos o plano
. - Temos o cilindro reto de eixo
dado por ; a região dentro do cilindro significa o disco fechado . - Queremos uma função vetor
que, para parâmetros apropriados, gere todos os pontos do pedaço do plano que estão sobre esse disco (ou seja, o conjunto ).
Passo 2
Por que usar coordenadas polares para parametrizar a projeção no plano
?
- O cilindro é descrito por
; isso sugere trabalhar com coordenadas polares, pois a equação em polares fica simples: para a circunferência e para o disco. - As fórmulas básicas das coordenadas polares são:
onde
é a distância da origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
. Aqui os parâmetros serão
e
.
Passo 3
Definir os intervalos dos parâmetros:
- Como queremos o disco de raio
, tomamos
- Para cobrir todo o disco em torno da origem, tomamos
Assim, qualquer ponto
do disco será gerado por alguma combinação
nesses intervalos.
Passo 4
Expressar
em função de
e
usando a equação do plano:
- A equação do plano é
. Substituindo obtemos
Portanto, cada ponto do pedaço do plano tem coordenadas
.
Passo 5
Montar a parametrização vetorial:
- Juntando as componentes em um vetor posição, uma parametrização adequada é
com os parâmetros variando em
Passo 6
Verificações rápidas (como checar no exame):
- Para
obtemos : o centro do disco projetado no plano (ponto ). - Para
e variando obtemos a circunferência de interseção entre plano e cilindro: . - A parametrização é suave e cobre exatamente o pedaço do plano pedido (o disco fechado projetado em
elevado pela fórmula ).
Passo 7
Dica prática para a prova (resumindo como usar):
- Sempre que tiver um pedaço de superfície dado como gráfico
sobre uma região simples no plano , você pode parametrizar por usando coordenadas convenientes para a região. No caso de regiões circulares, coordenadas polares são quase sempre a escolha mais conveniente.