Encontre a parametrização para o pedaço de plano \mathrm{z}=\mathrm{x}+3 que está dentro do cilindro \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1.
(\vec{r}(\theta, r)=r \cos (\theta) \vec{i}+r \sin (\theta) \vec{j}+(3+r \cos (\theta)) \vec{k}, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq 1)

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização do pedaço do plano \mathrm{z}=\mathrm{x}+3 que está “dentro” do cilindro \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1. Informações dadas e o que se pede:
  • Temos o plano \mathrm{z}=\mathrm{x}+3.
  • Temos o cilindro reto de eixo z dado por \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1; a região dentro do cilindro significa o disco fechado \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • Queremos uma função vetor \vec{r}(\cdot,\cdot) que, para parâmetros apropriados, gere todos os pontos do pedaço do plano que estão sobre esse disco (ou seja, o conjunto \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\\ z=x+3\}).

Passo 2

Por que usar coordenadas polares para parametrizar a projeção no plano xy?
  • O cilindro é descrito por \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1; isso sugere trabalhar com coordenadas polares, pois a equação em polares fica simples: \mathrm{r}=1 para a circunferência e 0\le \mathrm{r}\le 1 para o disco.
  • As fórmulas básicas das coordenadas polares são:
x = r\cos(\theta),\qquad y = r\sin(\theta),
onde r\ge 0 é a distância da origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Aqui os parâmetros serão r e \theta.

Passo 3

Definir os intervalos dos parâmetros:
  • Como queremos o disco de raio 1, tomamos
0 \le r \le 1.
  • Para cobrir todo o disco em torno da origem, tomamos
0 \le \theta \le 2\pi.
Assim, qualquer ponto (x,y) do disco será gerado por alguma combinação (r,\theta) nesses intervalos.

Passo 4

Expressar z em função de r e \theta usando a equação do plano:
  • A equação do plano é z = x + 3. Substituindo x = r\cos(\theta) obtemos
z = r\cos(\theta) + 3.
Portanto, cada ponto do pedaço do plano tem coordenadas (x,y,z) = (r\cos(\theta),\; r\sin(\theta),\; 3 + r\cos(\theta)).

Passo 5

Montar a parametrização vetorial:
  • Juntando as componentes em um vetor posição, uma parametrização adequada é
\vec{r}(r,\theta) = r\cos(\theta)\,\vec{i} + r\sin(\theta)\,\vec{j} + \bigl(3 + r\cos(\theta)\bigr)\,\vec{k},
com os parâmetros variando em
0 \le r \le 1,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 6

Verificações rápidas (como checar no exame):
  • Para r=0 obtemos \vec{r}(0,\theta) = (0,0,3): o centro do disco projetado no plano (ponto (0,0,3)).
  • Para r=1 e \theta variando obtemos a circunferência de interseção entre plano e cilindro: (\cos\theta,\sin\theta,3+\cos\theta).
  • A parametrização é suave e cobre exatamente o pedaço do plano pedido (o disco fechado projetado em xy elevado pela fórmula z=x+3).

Passo 7

Dica prática para a prova (resumindo como usar):
  • Sempre que tiver um pedaço de superfície dado como gráfico z=f(x,y) sobre uma região simples no plano xy, você pode parametrizar por \vec{r}(u,v)=(u,v,f(u,v)) usando coordenadas convenientes para a região. No caso de regiões circulares, coordenadas polares são quase sempre a escolha mais conveniente.

Resposta

\vec{r}(r,\theta)=r\cos(\theta)\,\vec{i}+r\sin(\theta)\,\vec{j}+\bigl(3+r\cos(\theta)\bigr)\,\vec{k},\qquad 0\le r\le 1,\;0\le\theta\le 2\pi

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