Verificar em cada um dos casos se o subconjunto \mathcal{B} é uma base do espaço vetorial real (V,+, \cdot).
\mathcal{B}=\{(1,2,-3),(1,0,-1),(0,2,4)\} e V=\mathbb{R}^{3}, munido das operações usuais.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se o subconjunto \mathcal{B}=\{(1,2,-3),(1,0,-1),(0,2,4)\} é uma base do espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} com as operações usuais.
Informações dadas:
\mathcal{B}=\{v_1,v_2,v_3\},\quad v_1=(1,2,-3),\; v_2=(1,0,-1),\; v_3=(0,2,4).
Pergunta explícita: a coleção \mathcal{B} é uma base de \mathbb{R}^3 ?

Passo 2

O que significa ser base (explicação didática, passo a passo):
  • Uma coleção de vetores é base de um espaço vetorial se e somente se satisfaz duas condições simultâneas:
    1. Eles são linearmente independentes.
    2. Eles geram (span) todo o espaço vetorial.
  • Observação prática importante para \mathbb{R}^3: qualquer conjunto com exatamente três vetores em \mathbb{R}^3 é uma base se e somente se os três vetores forem linearmente independentes. Isso porque três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3 já geram todo \mathbb{R}^3.
  • Definição de linearmente independentes (explicada): vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = (0,0,0)é \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Se existir solução não trivial, são dependentes.
  • Ferramenta prática: para verificar independência de três vetores em \mathbb{R}^3 podemos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes; se for zero, são dependentes.

Passo 3

Escolha do método (e por quê):
  • O enunciado não impõe método. Pela explicação anterior, o jeito mais direto e rápido é formar a matriz com os vetores como colunas e calcular o determinante.
  • Motivo: cálculo do determinante é um teste direto de independência para três vetores em \mathbb{R}^3 e evita resolver sistemas com incógnitas. É um método básico e adequado para prova sem calculadora (o determinante aqui será inteiro).

Passo 4

Montagem da matriz com os vetores como colunas (cada coluna é um vetor de \mathcal{B}):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 2 \\\\ -3 & -1 & 4 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é v_1, a segunda é v_2 e a terceira é v_3.
Explicando: colocar os vetores como colunas é natural quando queremos checar se qualquer vetor b\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear A x = b; a independência das colunas está ligada ao determinante de A.

Passo 5

Cálculo do determinante (detalhado, passo a passo):
Usamos expansão pela primeira linha (pode-se usar qualquer método; aqui a expansão fica simples):
\det(A)= 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -3 & 4\end{pmatrix} +0\cdot\det(\cdots).
Agora calculamos cada menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}=0\cdot4 - 2\cdot(-1)=0+2=2.
\det\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -3 & 4\end{pmatrix}=2\cdot4 - 2\cdot(-3)=8+6=14.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot 2 - 1\cdot 14 + 0 = 2 - 14 = -12.
Conclusão do cálculo: \det(A)=-12, que é diferente de zero.

Passo 6

Interpretação final e conclusão (didática e motivadora):
  • Como \det(A)=-12\neq 0, as colunas de A (isto é, v_1,v_2,v_3) são linearmente independentes.
  • Três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3 formam uma base de \mathbb{R}^3 — portanto \mathcal{B} gera \mathbb{R}^3 e é uma base.
  • Para provar isso mentalmente na prova: lembre-se da equivalência “determinante não-nulo ⇔ colunas independentes” e que em \mathbb{R}^3 três vetores independentes geram todo o espaço. Boa notícia: você já ganhou a resposta!

Resposta

Sim. \mathcal{B} é uma base de \mathbb{R}^3, pois \det\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 2 \\\\ -3 & -1 & 4\end{pmatrix}=-12\neq0.

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