Seja A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right], uma matriz quadrada de ordem n. O traço de A, denotado por \operatorname{tr}(A), é definido como sendo o número real
\operatorname{tr}(A)=\sum_{k=1}^{n} a_{k k}=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{n n}
ou seja, o traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal de A. Dadas A e B matrizes quadradas de ordem n, valem as seguintes propriedades:
(a) \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B);
(c) \operatorname{tr}\left(A^{T}\right)=\operatorname{tr}(A);
(b) \operatorname{tr}(k A)=k \operatorname{tr}(A), onde k \in \mathbb{R};
(d) \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A).
Verifique que se A é uma matriz m \times n, então os traços de A A^{T} e A^{T} A estão definidos. Em seguida prove que \operatorname{tr}\left(A A^{T}\right)=\operatorname{tr}\left(A^{T} A\right).

Passo 1

O enunciado define o traço de uma matriz quadrada e pede para verificar que, para uma matriz A de tamanho m\times n, as matrizes A A^{T} e A^{T}A são quadradas (isto é, seus traços estão definidos) e, em seguida, provar
\tr\bigl(A A^{T}\bigr)\;=\;\tr\bigl(A^{T}A\bigr).

Passo 2

Como A é de tamanho m\times n, sua transposta A^{T} é n\times m. Logo o produto
A\,A^{T}
é bem-definido e tem dimensões m\times m, e o produto
A^{T}A
é bem-definido e tem dimensões n\times n. Assim ambos são matrizes quadradas, e seus traços existem.

Passo 3

Calculemos \tr(A\,A^{T}) pela definição:
\tr\bigl(A\,A^{T}\bigr) =\sum_{i=1}^{m}\bigl(A\,A^{T}\bigr)_{ii} =\sum_{i=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\,(A^{T})_{ki}.
Mas (A^{T})_{ki}=a_{ik}, portanto
\tr\bigl(A\,A^{T}\bigr) =\sum_{i=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}^{2}.

Passo 4

De modo análogo,
\tr\bigl(A^{T}A\bigr) =\sum_{k=1}^{n}\bigl(A^{T}A\bigr)_{kk} =\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(A^{T})_{ki}\,a_{ik} =\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}a_{ik}^{2}.
Reorganizando a soma, isso também é
\sum_{i=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}^{2}.

Resposta

\tr\bigl(A\,A^{T}\bigr) =\sum_{i=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}^{2} =\tr\bigl(A^{T}A\bigr).

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