Q4: Seja
A=\left[\begin{array}{rr} -\frac{17}{2} & -\frac{11}{2} \\\ \frac{33}{4} & \frac{21}{4} \end{array}\right]
e seja \vec{v}=(x, y) \neq \overrightarrow{0} um vetor tal que
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|A^{n} \vec{v}\right\|=0
Então y / x vale:
(A) -\frac{1}{2}
(B) 0
(C) -1
(D) -\frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -\tfrac{17}{2} & -\tfrac{11}{2}\\[6pt] \tfrac{33}{4} & \tfrac{21}{4} \end{pmatrix}
e pede o valor de \tfrac{y}{x} para o vetor \vec v=(x,y)\neq\vec0 que satisfaz
\lim_{n\to\infty}\|A^n\vec v\|=0.
O conteúdo aqui é análise de autovalores/autovetores: um vetor só tende a zero pelas aplicações sucessivas de A se for múltiplo de um autovetor cujo autovalor \lambda satisfaça |\lambda|<1.]

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A. O traço e o determinante são
\mathrm{tr}(A) = -\tfrac{17}{2} + \tfrac{21}{4} = -\tfrac{13}{4},
\det(A) = -\tfrac{17}{2}\cdot\tfrac{21}{4} \;-\;\bigl(-\tfrac{11}{2}\bigr)\cdot\tfrac{33}{4} = -\tfrac{357}{8} + \tfrac{363}{8} = \tfrac{3}{4}.
Logo o polinômio característico é
\lambda^2 - \mathrm{tr}(A)\,\lambda + \det(A) = \lambda^2 + \tfrac{13}{4}\,\lambda + \tfrac{3}{4} = 0.
Multiplicando por 4:
4\lambda^2 + 13\lambda + 3 = 0.
As raízes são
\lambda = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4\cdot4\cdot3}}{8} = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 48}}{8} = \frac{-13 \pm 11}{8}.
Portanto
\lambda_1 = -\tfrac{1}{4}, \quad \lambda_2 = -3.

Passo 3

Desses autovalores, apenas \lambda_1=-\tfrac14 satisfaz \lvert\lambda_1\rvert<1. Para que A^n\vec v\to\vec0 é necessário que \vec v seja autovetor associado a \lambda_1.

Passo 4

Encontramos o autovetor de \lambda_1 resolvendo
\bigl(A - (-\tfrac14)I\bigr)\vec v = 0 \;\Longrightarrow\; \bigl(A + \tfrac14 I\bigr)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Escrevendo
A + \tfrac14 I = \begin{pmatrix} -\tfrac{17}{2}+\tfrac14 & -\tfrac{11}{2}\\[4pt] \tfrac{33}{4} & \tfrac{21}{4}+\tfrac14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{33}{4} & -\tfrac{22}{4}\\[4pt] \tfrac{33}{4} & \tfrac{22}{4} \end{pmatrix},
a primeira linha dá
-\tfrac{33}{4}\,x \;-\;\tfrac{22}{4}\,y = 0 \;\Longrightarrow\; -33\,x -22\,y = 0 \;\Longrightarrow\; 3x + 2y = 0.]

Passo 5

Da equação 3x + 2y = 0 vem
2y = -3x \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x} = -\tfrac{3}{2}.

Resposta

(D) -\tfrac{3}{2}

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