Q2: Assinale um autovetor associado ao menor autovalor de
\left[\begin{array}{rrr} 9 & -4 & 2 \\\\ 0 & 8 & 1 \\\\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right] .
(A) \left[\begin{array}{c}4 \\\\ 1 \\\ \star\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{c}5 \\\\ 1 \\\ \star\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}6 \\\\ 1 \\\ \star\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}7 \\\\ 1 \\\ \star\end{array}\right]
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular superior
A = \begin{pmatrix} 9 & -4 & 2\\\\ 0 & 8 & 1\\\\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}
e pede um autovetor associado ao menor autovalor. O conteúdo aqui é encontrar autovalores de matriz triangular e resolver (A-\lambda I)x=0.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal:
\lambda_1=9,\quad \lambda_2=8,\quad \lambda_3=8.
O menor autovalor é \lambda=8.

Passo 3

Para \lambda=8 resolvemos
(A-8I)x=0\quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 9-8 & -4 & 2\\\\ 0 & 8-8 & 1\\\\ 0 & 0 & 8-8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0,
isto é,
\begin{cases} x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 0,\\\\ 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 0,\\\\ 0=0. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação vem
x_3=0.
Substituindo em x_1 -4x_2 +2x_3=0
x_1 -4x_2=0\quad\Longrightarrow\quad x_1=4x_2.
Logo os autovetores são da forma
x = \begin{pmatrix}4t\t\\\ 0\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Entre as alternativas, só a opção (A) tem a forma \bigl[4,1,\star\bigr]^T com \star=0, que coincide com \begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Resposta

(A) \displaystyle \begin{pmatrix}4\\\ 1\\underline{0}\end{pmatrix}

Exercícios relacionados